Implementación de la red de conferencias ideal de 6 puertos de Belevitch- Implementación de la red de conferencias ideal de 10 puertos de Belevitch
En matemáticas , una matriz de conferencia ( también llamada matriz C ) es una matriz cuadrada C con 0 en la diagonal y +1 y −1 fuera de la diagonal, de modo que C T C es un múltiplo de la matriz identidad I. Por lo tanto, si la matriz tiene orden n , C T C = ( n −1) I. Algunos autores utilizan una definición más general, que requiere que haya un solo 0 en cada fila y columna, pero no necesariamente en la diagonal. [1] [2]
Las matrices de conferencia surgieron por primera vez en relación con un problema de telefonía . [3] Fueron descritas por primera vez por Vitold Belevitch , quien también les dio su nombre. Belevitch estaba interesado en construir redes ideales de conferencias telefónicas a partir de transformadores ideales y descubrió que dichas redes estaban representadas por matrices de conferencia, de ahí el nombre. [4] Otras aplicaciones son en estadística , [5] y otra en geometría elíptica . [6]
Para n > 1, hay dos tipos de matriz de conferencia. Normalicemos C , primero (si se utiliza la definición más general), reorganizando las filas de modo que todos los ceros estén en la diagonal y luego negando cualquier fila o columna cuya primera entrada sea negativa. (Estas operaciones no cambian si una matriz es una matriz de conferencia). Por lo tanto, una matriz de conferencia normalizada tiene todos los 1 en su primera fila y columna, excepto un 0 en la esquina superior izquierda, y es 0 en la diagonal. Sea S la matriz que queda cuando se eliminan la primera fila y columna de C. Entonces, o bien n es par (un múltiplo de 4) y S es antisimétrica (como lo es la C normalizada si se niega su primera fila), o bien n es impar ( congruente con 2 módulo 4) y S es simétrica (como lo es la C normalizada ).
Si C es una matriz de conferencia simétrica de orden n > 1, entonces no sólo n debe ser congruente con 2 módulo 4 sino que también n − 1 debe ser una suma de dos cuadrados ; [7] hay una prueba inteligente mediante la teoría de matrices elementales en van Lint y Seidel. [6] n siempre será la suma de dos cuadrados si n − 1 es una potencia prima . [8]
Dada una matriz de conferencia simétrica, la matriz S puede verse como la matriz de adyacencia de Seidel de un grafo . El grafo tiene n − 1 vértices, correspondientes a las filas y columnas de S , y dos vértices son adyacentes si la entrada correspondiente en S es negativa. Este grafo es fuertemente regular del tipo llamado (por la matriz) grafo de conferencia .
La existencia de matrices de conferencia de órdenes n permitidas por las restricciones anteriores se conoce solo para algunos valores de n . Por ejemplo, si n = q + 1 donde q es una potencia prima congruente con 1 módulo 4, entonces los grafos de Paley proporcionan ejemplos de matrices de conferencia simétricas de orden n , tomando S como la matriz de Seidel del grafo de Paley. Los primeros órdenes posibles de una matriz de conferencia simétrica son n = 2, 6, 10, 14, 18, (no 22, ya que 21 no es una suma de dos cuadrados), 26, 30, (no 34 ya que 33 no es una suma de dos cuadrados), 38, 42, 46, 50, 54, (no 58), 62 (secuencia A000952 en la OEIS ); para cada uno de estos, se sabe que existe una matriz de conferencia simétrica de ese orden. La Orden 66 parece ser un problema abierto .
La matriz de conferencia esencialmente única de orden 6 está dada por
Todas las demás matrices de conferencia de orden 6 se obtienen a partir de ésta invirtiendo los signos de alguna fila y/o columna (y tomando permutaciones de filas y/o columnas, según la definición en uso).
Las matrices antisimétricas también se pueden producir mediante la construcción de Paley. Sea q una potencia prima con residuo 3 módulo 4. Entonces hay un dígrafo de Paley de orden q que conduce a una matriz de conferencia antisimétrica de orden n = q + 1. La matriz se obtiene tomando para S la matriz q × q que tiene un +1 en la posición ( i , j ) y −1 en la posición ( j , i ) si hay un arco del dígrafo de i a j , y diagonal cero. Entonces C construida como antes a partir de S , pero con la primera fila toda negativa, es una matriz de conferencia antisimétrica.
Esta construcción resuelve sólo una pequeña parte del problema de decidir para qué números pares n existen matrices de conferencia antisimétricas de orden n .
A veces, una matriz de conferencia de orden n se define simplemente como una matriz de ponderación de la forma W ( n, n −1), donde se dice que W ( n,w ) tiene un peso w > 0 y orden n si es una matriz cuadrada de tamaño n con entradas de {−1, 0, +1} que satisfacen W W T = w I . [2] Usando esta definición, ya no se requiere que el elemento cero esté en la diagonal, pero es fácil ver que aún debe haber exactamente un elemento cero en cada fila y columna. Por ejemplo, la matriz
satisfaría esta definición relajada, pero no la más estricta que requiere que los elementos cero estén en la diagonal.
Un diseño de conferencia es una generalización de matrices de conferencia a matrices no rectangulares. Un diseño de conferencia C es una matriz, con entradas de {−1, 0, +1} que satisfacen , donde es la matriz identidad y como máximo un cero en cada fila. Los diseños de plegado de los diseños de conferencia se pueden utilizar como diseños de cribado definitivos. [9] [10]
Belevitch obtuvo soluciones completas para matrices de conferencia para todos los valores de n hasta 38 y proporcionó circuitos para algunas de las matrices más pequeñas. Una red de conferencia ideal es aquella en la que la pérdida de señal se debe enteramente a que la señal se divide entre múltiples puertos de abonado a la conferencia. Es decir, no hay pérdidas por disipación dentro de la red. La red debe contener solo transformadores ideales y ninguna resistencia. Una red de conferencia ideal de n puertos existe si y solo si existe una matriz de conferencia de orden n . Por ejemplo, se puede construir una red de conferencia de 3 puertos con el conocido circuito de transformador híbrido utilizado para la conversión de 2 cables a 4 cables en teléfonos y repetidores de línea. Sin embargo, no hay una matriz de conferencia de orden 3 y este circuito no produce una red de conferencia ideal . Se necesita una resistencia para la adaptación que disipa la señal, o de lo contrario la señal se pierde por desajuste. [11]
Como se mencionó anteriormente, una condición necesaria para que exista una matriz de conferencia es que n −1 debe ser la suma de dos cuadrados. Cuando hay más de una suma posible de dos cuadrados para n −1, existirán múltiples soluciones esencialmente diferentes para la red de conferencia correspondiente. Esta situación ocurre en n de 26 y 66. Las redes son particularmente simples cuando n −1 es un cuadrado perfecto ( n = 2, 10, 26, ...). [12]