Matriz de Routh-Hurwitz

Matriz utilizada para analizar la estabilidad de un polinomio por sus coeficientes

En matemáticas , la matriz de Routh-Hurwitz , ^[1] o más comúnmente simplemente matriz de Hurwitz , correspondiente a un polinomio, es una matriz particular cuyas entradas distintas de cero son coeficientes del polinomio.

Matriz de Hurwitz y criterio de estabilidad de Hurwitz

Es decir, dado un polinomio real

${\displaystyle p(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}}$

La matriz cuadrada ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &\dots &\dots &0&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &a_{0}&a_{2}&\ddots &&&0&\vdots &\vdots \\\vdots &0&a_{1}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &a_{0}&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&&a_{n-2}&a_{n}&\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\dots &\dots &\dots &a_{n-4}&a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}.}$

Se denomina matriz de Hurwitz a la correspondiente al polinomio . Adolf Hurwitz estableció en 1895 que un polinomio real con es estable (es decir, todas sus raíces tienen parte real estrictamente negativa) si y solo si todos los menores principales de la matriz son positivos: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a_{0}>0}$ ${\displaystyle H(p)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}&&=a_{1}>0\\[2mm]\Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\\\end{vmatrix}}&&=a_{2}a_{1}-a_{0}a_{3}>0\\[2mm]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\\\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}}$

y así sucesivamente. Los menores se llaman determinantes de Hurwitz . De manera similar, si entonces el polinomio es estable si y solo si los menores principales tienen signos alternados comenzando con uno negativo. ${\displaystyle \Delta _{k}(p)}$ ${\displaystyle a_{0}<0}$

Ejemplo

Como ejemplo, considere la matriz

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}-1&-1&0\\1&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}},}$

y dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}p(x)&=\det(xI-M)\\&={\begin{vmatrix}x+1&1&0\\-1&x+1&0\\0&0&x+1\end{vmatrix}}\\&=(x+1)^{3}-(1)(-1)(x+1)\\&=x^{3}+3x^{2}+4x+2\end{aligned}}}$

sea ​​el polinomio característico de . La matriz de Routh-Hurwitz ^{[nota 1]} asociada a es entonces ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}3&2&0\\1&4&0\\0&3&2\end{pmatrix}}.}$

Los principales menores de son ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}3\end{vmatrix}}&&=3>0\\[2mm]\Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}3&2\\1&4\\\end{vmatrix}}&&=12-2=10>0\\[2mm]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}3&2&0\\1&4&0\\0&3&2\\\end{vmatrix}}&&=2\Delta _{2}(p)=20>0.\end{aligned}}}$

Como los principales menores son todos positivos, todas las raíces de tienen parte real negativa. Además, como es el polinomio característico de , se deduce que todos los valores propios de tienen parte real negativa y, por lo tanto, es una matriz Hurwitz-estable . ^{[nota 1]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Véase también

• Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
• Criterio de Liénard-Chipart
• Matriz P

Notas

1. Tanto las matrices de Routh-Hurwitz como las matrices estables de Hurwitz se conocen más comúnmente como matrices de Hurwitz. Para reducir el riesgo de confusión, en esta sección se evita esa terminología.

Referencias

1. Horn, Roger; Johnson, Charles (1991). Temas de análisis matricial . p. 101. ISBN 0-521-30587-X.

• Asner, Bernard A. Jr. (1970). "Sobre la no negatividad total de la matriz de Hurwitz". Revista SIAM de Matemáticas Aplicadas . 18 (2): 407–414. doi :10.1137/0118035. JSTOR  2099475.
• Dimitrov, Dimitar K.; Peña, Juan Manuel (2005). "Positividad total casi estricta y una clase de polinomios de Hurwitz". Journal of Approximation Theory . 132 (2): 212–223. doi : 10.1016/j.jat.2004.10.010 . hdl : 11449/21728 .
• Gantmacher, FR (1959). Aplicaciones de la teoría de matrices . Nueva York: Interscience .
• Hurwitz, A. (1895). "Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativos reellen Teilen besitzt". Annalen Matemáticas . 46 (2): 273–284. doi :10.1007/BF01446812. S2CID  121036103.
• Lehnigk, Siegfried H. (1970). "Sobre la matriz de Hurwitz". Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik . 21 (3): 498–500. Código bibliográfico : 1970ZaMP...21..498L. doi :10.1007/BF01627957. S2CID  123380473.