matriz de Walsh

Matriz de Hadamard de orden 16 multiplicada por un vector

Matriz de Hadamard ordenada naturalmente permutada en matriz de Walsh ordenada por secuencia. El número de cambios de signo por fila en la matriz ordenada naturalmente es (0, 15, 7, 8, 3, 12, 4, 11, 1, 14, 6, 9, 2, 13, 5, 10), en la secuencia -matriz ordenada el número de cambios de signo es consecutivo.

Descomposición LDU de una matriz de Hadamard. Los de las matrices triangulares forman triángulos de Sierpinski . Las entradas de la matriz diagonal son valores de la secuencia de Gould , con los signos menos distribuidos como los de la secuencia de Thue-Morse .

Matriz binaria de Hadamard como producto matricial . La matriz binaria (blanco 0, rojo 1) es el resultado de operaciones en F 2 . Los números grises muestran el resultado con operaciones en . ${\displaystyle \mathbb {N} }$

En matemáticas , una matriz de Walsh es una matriz cuadrada específica de dimensiones 2 ⁿ , donde n es algún número natural particular . Las entradas de la matriz son +1 o −1 y sus filas y columnas son ortogonales . La matriz de Walsh fue propuesta por Joseph L. Walsh en 1923. ^[1] Cada fila de una matriz de Walsh corresponde a una función de Walsh .

Las matrices de Walsh son un caso especial de matrices de Hadamard donde las filas se reorganizan de modo que el número de cambios de signo en una fila sea en orden creciente. En resumen, una matriz de Hadamard se define mediante la siguiente fórmula recursiva y está ordenada naturalmente , mientras que una matriz de Walsh está ordenada por secuencia . ^[1] De manera confusa, diferentes fuentes se refieren a cualquiera de las matrices como la matriz de Walsh.

La matriz de Walsh (y las funciones de Walsh) se utilizan para calcular la transformada de Walsh y tienen aplicaciones en la implementación eficiente de ciertas operaciones de procesamiento de señales .

Fórmula

Las matrices de dimensión de Hadamard están dadas por la fórmula recursiva (el orden más bajo de la matriz de Hadamard es 2): ${\displaystyle 2^{k}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}H\left(2^{1}\right)&={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}},\\H\left(2^{2}\right)&={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

y en general

${\displaystyle H\left(2^{k}\right)={\begin{bmatrix}H\left(2^{k-1}\right)&H\left(2^{k-1}\right)\\H\left(2^{k-1}\right)&-H\left(2^{k-1}\right)\end{bmatrix}}=H(2)\otimes H\left(2^{k-1}\right),}$

para 2 ≤  k  ∈  N , donde ⊗ denota el producto de Kronecker .

Permutación

Podemos obtener una matriz de Walsh a partir de una matriz de Hadamard. Para eso, primero generamos la matriz de Hadamard para una dimensión determinada. Luego, contamos el número de cambios de signo de cada fila. Finalmente, reordenamos las filas de la matriz según el número de cambios de signo en orden ascendente.

Por ejemplo, supongamos que tenemos una matriz de Hadamard de dimensión ${\displaystyle 2^{2}}$

${\displaystyle H(4)={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{bmatrix}}}$,

donde las filas sucesivas tienen cambios de signo 0, 3, 1 y 2 (contamos el número de veces que cambiamos de un 1 positivo a un 1 negativo, y viceversa). Si reorganizamos las filas en orden secuencial, obtenemos:

${\displaystyle W(4)={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\1&-1&1&-1\\\end{bmatrix}},}$

donde las filas sucesivas tienen cambios de signo 0, 1, 2 y 3.

Formas alternativas de la matriz de Walsh

Orden de secuencia

El orden de secuencia de las filas de la matriz de Walsh se puede derivar del orden de la matriz de Hadamard aplicando primero la permutación de inversión de bits y luego la permutación del código Gray : ^[2]

${\displaystyle W(8)={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{bmatrix}},}$

donde las filas sucesivas tienen cambios de signo 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

ordenamiento diádico

${\displaystyle W(8)={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\end{bmatrix}},}$

donde las filas sucesivas tienen 0, 1, 3, 2, 7, 6, 4 y 5 cambios de signo.

Ordenamiento natural

${\displaystyle H(8)={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\end{bmatrix}},}$

donde las filas sucesivas tienen 0, 7, 3, 4, 1, 6, 2 y 5 cambios de signo (matriz de Hadamard).

Ver también

• onda de pelo
• matriz quincunce
• Transformada de Hadamard
• Codigo de DIVISION DE ACCESO multiple
• OEIS : A228539 ( OEIS : A228540 ): filas de las matrices binarias de Walsh (negadas) leídas como números binarios inversos
• OEIS : A197818 – antidiagonales de la matriz binaria negada de Walsh leídas como números binarios

Referencias

1. Kanjilal, PP (1995). Predicción adaptativa y control predictivo. Stevenage: IET. pag. 210.ISBN​ 0-86341-193-2.
2. Yuen, C.-K. (1972). "Observaciones sobre el ordenamiento de las funciones de Walsh". Transacciones IEEE en computadoras . 21 (12): 1452. doi :10.1109/TC.1972.223524.