Matriz de Riordan

Una matriz Riordan es una matriz triangular inferior infinita , , construida a partir de dos series de potencias formales , de orden 0 y de orden 1, tales que . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle d(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle d_{n,k}=[t^{n}]d(t)h(t)^{k}}$

Una matriz de Riordan es un elemento del grupo de Riordan. ^[1] Fue definida por el matemático Louis W. Shapiro y nombrada en honor a John Riordan . ^[1] El estudio de las matrices de Riordan es un campo influenciado por y que contribuye a otras áreas como la combinatoria , la teoría de grupos , la teoría de matrices , la teoría de números , la probabilidad , las secuencias y series , los grupos de Lie y las álgebras de Lie , los polinomios ortogonales , la teoría de grafos , las redes , las secuencias unimodales , las identidades combinatorias, las curvas elípticas , la aproximación numérica , el análisis asintótico y el análisis de datos . Las matrices de Riordan también unifican herramientas como las funciones generadoras , los sistemas de álgebra computacional , los lenguajes formales y los modelos de trayectorias . ^[2] Se han publicado libros sobre el tema, como The Riordan Array ^[1] (Shapiro et al., 1991).

Definición formal

Se dice que una serie de potencias formales (donde es el anillo de series de potencias formales con coeficientes complejos) tiene orden si . Escribe para el conjunto de series de potencias formales de orden . Una serie de potencias tiene un inverso multiplicativo (es decir, es una serie de potencias) si y solo si tiene orden 0, es decir, si y solo si se encuentra en ; tiene una composición inversa que es existe una serie de potencias tal que si y solo si tiene orden 1, es decir, si y solo si se encuentra en . ${\displaystyle a(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots =\sum _{j\geq 0}a_{j}x^{j}\in \mathbb {C} [[x]]}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [[x]]}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a_{0}=\cdots =a_{r-1}=0\neq a_{r}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a(x)}$ ${\displaystyle 1/a(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ ${\displaystyle {\bar {a}}}$ ${\displaystyle {\bar {a}}(a(x))=x}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$

Como se mencionó anteriormente, una matriz de Riordan se define generalmente a través de un par de series de potencias . La parte "matriz" en su nombre proviene del hecho de que uno asocia a la matriz de números complejos definidos por (aquí " " significa "coeficiente de en "). Por lo tanto, la columna de la matriz consiste en la secuencia de coeficientes de la serie de potencias en particular, la columna 0 determina y está determinada por la serie de potencias Debido a que es de orden 0, tiene un inverso multiplicativo, y se deduce que de la columna 1 de la matriz podemos recuperar como . Dado que tiene orden 1, es de orden y también es Se deduce que la matriz es triangular inferior y exhibe una progresión geométrica en su diagonal principal. También se deduce que el mapa que envía un par de series de potencias a su matriz triangular es inyectivo . ${\displaystyle (d(t),h(t))\in {\mathcal {F}}_{0}\times {\mathcal {F}}_{1}}$ ${\displaystyle (d(t),h(t))}$ ${\displaystyle d_{n,k}:=[t^{n}]d(t)h(t)^{k},}$ ${\displaystyle n,k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle [t^{n}]\cdots }$ ${\displaystyle t^{n}}$ ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d(t)h(t)^{k};}$ ${\displaystyle d(t).}$ ${\displaystyle d(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle h(t)=d(t)^{-1}d(t)h(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle h(t)^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d(t)h(t)^{k}.}$ ${\displaystyle d_{n,k}}$ ${\displaystyle (d_{k,k})_{k\geq 0}=(d_{0}h_{1}^{k})_{k\geq 0}}$ ${\displaystyle (d(t),h(t))\in {\mathcal {F}}_{0}\times {\mathcal {F}}_{1}}$

Ejemplo

Un ejemplo de una matriz de Riordan lo da el par de series de potencias

${\displaystyle \left({\frac {1}{1-x}},{\frac {x}{1-x}}\right)=\left(\sum _{j\geq 0}x^{j},\sum _{j\geq 0}x^{j+1}\right)\in {\mathcal {F}}_{0}\times {\mathcal {F}}_{1}}$.

No es difícil demostrar que este par genera la matriz triangular infinita de coeficientes binomiales , también llamada matriz de Pascal: ${\displaystyle d_{n,k}={\binom {n}{k}}}$

${\displaystyle P=\left({\begin{array}{ccccccc}1&&&&&&\\1&1&&&&&\\1&2&1&&&&\cdots \\1&3&3&1&&&\\1&4&6&4&1&&\\&&\vdots &&&&\ddots \end{array}}\right)}$.

Demostración: Si es una serie de potencias con una secuencia de coeficientes asociada , entonces, por la multiplicación de Cauchy de series de potencias, Por lo tanto, la última serie tiene la secuencia de coeficientes , y, por lo tanto , . Fijemos cualquier Si , de modo que represente la columna de la matriz de Pascal, entonces . Este argumento permite ver por inducción en que tiene la columna de la matriz de Pascal como secuencia de coeficientes. ${\displaystyle q(x)=\sum _{j\geq 0}q_{j}x^{j}}$ ${\displaystyle (q_{0},q_{1},q_{2},...)}$ ${\displaystyle q(x){\frac {x}{1-x}}=\sum _{j\geq 0}(0+q_{0}+q_{1}+\cdots +q_{j-1})x^{j}.}$ ${\displaystyle (0,q_{0},q_{0}+q_{1},q_{0}+q_{1}+q_{2},....)}$ ${\displaystyle [t^{n}]q(x){\frac {x}{1-x}}=q_{0}+\cdots +q_{n-1}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} _{\geq 0}.}$ ${\displaystyle q_{n}={\binom {n}{k}}}$ ${\displaystyle (q_{n})_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \sum _{j=0}^{n-1}q_{j}=\sum _{j=0}^{n-1}{\binom {j}{k}}={\binom {n}{k+1}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}\left({\frac {x}{1-x}}\right)^{k}}$ ${\displaystyle k}$

Propiedades

A continuación se presentan algunos datos de uso frecuente sobre las matrices de Riordan. Tenga en cuenta que las reglas de multiplicación de matrices aplicadas a matrices triangulares inferiores infinitas conducen solo a sumas finitas y el producto de dos matrices triangulares inferiores infinitas es triangular inferior infinita. Los dos teoremas siguientes fueron enunciados y demostrados por primera vez por Shapiro et al. ^[1], quienes dicen que modificaron el trabajo que encontraron en los artículos de Gian-Carlo Rota y el libro de Roman. ^[3]

Teorema: a. Sean y matrices de Riordan, vistas como matrices triangulares inferiores infinitas. Entonces, el producto de estas matrices es la matriz asociada al par de series de potencias formales, que a su vez es una matriz de Riordan. ${\displaystyle (a(x),b(x))}$ ${\displaystyle (c(x),d(x))}$ ${\displaystyle (a(x)c(b(x)),d(b(x)))}$

b. Este hecho justifica la definición de una multiplicación ' ' de matrices de Riordan vistas como pares de series de potencias por ${\displaystyle *}$

${\displaystyle (a(x),b(x))*(c(x),d(x))=(a(x)c(b(x)),d(b(x))}$

Prueba: Como tiene orden 0, es claro que tiene orden 0. De manera similar implica que es una matriz de Riordan. Defina una matriz como la matriz de Riordan Por definición, su -ésima columna es la secuencia de coeficientes de la serie de potencias . Si multiplicamos esta matriz desde la derecha con la secuencia obtenemos como resultado una combinación lineal de columnas de la cual podemos leer como una combinación lineal de series de potencias, es decir Por lo tanto, viendo la secuencia como codificada por la serie de potencias , mostramos que Aquí el es el símbolo para indicar la correspondencia en el nivel de serie de potencias con la multiplicación de matrices. Multiplicamos una matriz de Riordan con una sola serie de potencias. Ahora sea otra matriz de Riordan vista como una matriz. Se puede formar el producto . La -ésima columna de este producto simplemente se multiplica con la -ésima columna de Dado que este último corresponde a la serie de potencias , se deduce de lo anterior que la -ésima columna de corresponde a . Como esto es válido para todos los índices de columna que aparecen en hemos mostrado la parte a. La parte b ahora está clara. ${\displaystyle a(x),c(x)}$ ${\displaystyle a(x)c(b(x))}$ ${\displaystyle b(x),d(x)\in {\mathcal {F}}_{1}}$ ${\displaystyle d(b(x))\in {\mathcal {F}}_{1}.}$ ${\displaystyle (a(x)c(b(x)),d(b(x)))}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (a(x),b(x)).}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle M_{*,j}}$ ${\displaystyle a(x)b(x)^{j}}$ ${\displaystyle (r_{0},r_{1},r_{2},...)^{T}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \sum _{\nu \geq 0}r_{\nu }M_{*,\nu }=\sum _{\nu \geq 0}r_{\nu }a(x)b(x)^{\nu }=a(x)\sum _{\nu \geq 0}r_{\nu }b(x)^{\nu }.}$ ${\displaystyle (r_{0},r_{1},r_{2},...)^{T}}$ ${\displaystyle r(x),}$ ${\displaystyle (a(x),b(x))*r(x)=a(x)r(b(x)).}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle (a(x),b(x))}$ ${\displaystyle (c(x),d(x))}$ ${\displaystyle (a(x),b(x))(c(x),d(x))}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle (a(x),b(x))}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle (c(x),d(x)).}$ ${\displaystyle c(x)d(x)^{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle (a(x),b(x))(c(x),d(x))}$ ${\displaystyle a(x)c(b(x))d(b(x))^{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle (c(x),d(x))}$ ${\displaystyle \Box }$

Teorema: La familia de matrices de Riordan dotadas del producto ' ' definido anteriormente forma un grupo: el grupo de Riordan. ^[1] ${\displaystyle *}$

Demostración: La asociatividad de la multiplicación ' ' se sigue de la asociatividad de la multiplicación de matrices. Nota siguiente . Por lo tanto , es un elemento neutro izquierdo. Finalmente, afirmamos que es la inversa izquierda de la serie de potencias . Para ello, compruebe el cálculo . Como es bien sabido, una estructura asociativa que tiene un elemento neutro izquierdo y donde cada elemento tiene una inversa izquierda es un grupo. ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle (1,x)*(c(x),d(x))=(1\cdot c(x),d(x))=(c(x),d(x))}$ ${\displaystyle (1,x)}$ ${\displaystyle (c({\bar {d}}(x))^{-1},{\bar {d}}(x))}$ ${\displaystyle (c(x),d(x))}$ ${\displaystyle (c({\bar {d}}(x))^{-1},{\bar {d}}(x))*(c(x),d(x))}$ ${\displaystyle =((c({\bar {d}}(x))^{-1}c(d(x)),d({\bar {d}}(x)))=(1,x)}$ ${\displaystyle \Box }$

Por supuesto, no todas las matrices triangulares inferiores infinitas invertibles son matrices de Riordan. A continuación se ofrece una caracterización útil para las matrices que son de Riordan. El siguiente resultado aparentemente se debe a Rogers. ^[4]

Teorema: Una matriz triangular inferior infinita es una matriz Riordan si y solo si existe una secuencia tradicionalmente llamada -secuencia , tal que ${\displaystyle D=(d_{n,k})_{n,k\geq 0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=(a_{0}\neq 0,a_{1},...)}$

${\displaystyle *_{1}:d_{n+1,k+1}=a_{0}d_{n,k}+a_{1}d_{n,k+1}+a_{2}d_{n,k+2}+\cdots =\sum _{j\geq 0}a_{j}d_{n,k+j}}$

Demostración . ^[5] Sea la matriz de Riordan que se deriva de Dado que Dado que tiene orden 1, se deduce que es una matriz de Riordan y por la propiedad de grupo existe una matriz de Riordan tal que Calculando el lado izquierdo se obtiene y por lo tanto la comparación da Por supuesto es una solución a esta ecuación; es única porque su composición es invertible. Por lo tanto, podemos reescribir la ecuación como ${\displaystyle \Rightarrow :}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle (d(t),h(t)).}$ ${\displaystyle d(t)\in {\mathcal {F}}_{0},}$ ${\displaystyle d_{0,0}\neq 0.}$ ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle (d(t)h(t)/t,h(t))}$ ${\displaystyle (A(t),B(t))}$ ${\displaystyle (d(t),h(t))*(A(t),B(t))=(d(t)h(t)/t,h(t)).}$ ${\displaystyle (d(t)A(h(t)),B(h(t))}$ ${\displaystyle B(h(t))=h(t).}$ ${\displaystyle B(t)=t}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (d(t),h(t))*(A(t),t)=(d(t)h(t)/t,h(t)).}$

Ahora bien, a partir de la ley de multiplicación de matrices, la entrada del lado izquierdo de esta última ecuación es ${\displaystyle n,k}$

${\displaystyle \sum _{j\geq 0}d_{n,j}(A(t),t)_{j,k}=\sum \limits _{j\geq 0}d_{n,j}[t^{j}]A(t)t^{k}=\sum \limits _{j\geq 0}d_{n,j}[t^{j-k}]A(t)=\sum \limits _{j\geq 0}d_{n,j}a_{j-k}=\sum \limits _{j\geq 0}a_{j}d_{n,k+j}.}$

Por otra parte, la entrada del lado derecho de la ecuación anterior es ${\displaystyle n,k}$

${\displaystyle t^{[n]}{\frac {1}{t}}d(t)h(t)h(t)^{k}=t^{[n+1]}d(t)h(t)^{k+1}=d_{n+1,k+1},}$

de modo que resulta i. De obtenemos también para todos y como sabemos que los elementos diagonales son distintos de cero, tenemos Nótese que usando la ecuación se pueden calcular todas las entradas sabiendo las entradas ${\displaystyle *_{1}}$ ${\displaystyle d_{n+1,n+1}=a_{0}d_{n,n}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle a_{0}\neq 0.}$ ${\displaystyle *_{1}}$ ${\displaystyle (d_{n,0})_{n\geq 0}.}$

${\displaystyle \Leftarrow :}$ Ahora supongamos que conocemos las ecuaciones para una matriz triangular de alguna secuencia Sea la función generadora de esa secuencia y definamos a partir de la ecuación Compruebe que es posible resolver las ecuaciones resultantes para los coeficientes de y ya que se obtiene que tiene orden 1. Sea la función generadora de la secuencia Luego, para el par encontramos Estas son precisamente las mismas ecuaciones que hemos encontrado en la primera parte de la prueba y al realizar su razonamiento encontramos ecuaciones como en . Dado que (o la secuencia de sus coeficientes) determina las otras entradas, encontramos que la matriz con la que comenzamos es la matriz que dedujimos. Entonces, la matriz en es una matriz de Riordan. ${\displaystyle *_{1}}$ ${\displaystyle (a_{j})_{j\geq 0}.}$ ${\displaystyle A(t)}$ ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle tA(h(t))=h(t).}$ ${\displaystyle h;}$ ${\displaystyle a_{0}\neq 0}$ ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle d(t)}$ ${\displaystyle (d_{0,0},d_{1,0},d_{2,0},...).}$ ${\displaystyle (d(t),h(t))}$ ${\displaystyle (d(t),h(t))*(A(t),t)=(d(t)A(h(t)),h(t))=(d(t)h(t)/t,h(t)).}$ ${\displaystyle *_{1}}$ ${\displaystyle d(t)}$ ${\displaystyle *_{1}}$ ${\displaystyle \Box }$

Es evidente que la secuencia por sí sola no proporciona toda la información sobre una matriz Riordan. Además de la secuencia , se ha estudiado la secuencia que aparece a continuación y se ha demostrado que es útil. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Z}$

Teorema. Sea una matriz triangular inferior infinita cuya secuencia diagonal no contiene ceros. Entonces existe una secuencia única tal que ${\displaystyle (d_{n,k})_{n,k\geq 0}}$ ${\displaystyle (d_{n,n})_{n\geq 0}}$ ${\displaystyle Z=(z_{0},z_{1},z_{2},...)}$

${\displaystyle d_{n+1,0}=z_{0}d_{n,0}+z_{1}d_{n,1}+z_{2}d_{n,2}+\cdots =\sum \limits _{j\geq 0}z_{j}d_{n,j},\quad n=0,1,2,3,...}$

Demostración: Por la triangularidad de la matriz, la ecuación propuesta es equivalente a Para esta ecuación es y, ya que permite el cálculo unívoco. En general, si se conocen, entonces permite el cálculo unívoco. ${\displaystyle d_{n+1,0}=\sum _{j=0}^{n}z_{j}d_{n,j}.}$ ${\displaystyle n=0,}$ ${\displaystyle d_{1,0}=z_{0}d_{0,0}}$ ${\displaystyle d_{0,0}\neq 0,}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{0},z_{1},...,z_{n-1}}$ ${\displaystyle d_{n+1,0}-\sum _{j=0}^{n-1}z_{j}d_{n,j}=z_{n}d_{n,n}}$ ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle \Box }$

Referencias

1. Shapiro, Louis W .; Getu, Seyoum; Woan, Wen-Jin; Woodson, León C. (noviembre de 1991). "El grupo Riordan". Matemática Aplicada Discreta . 34 (1?3): 229?239. doi :10.1016/0166-218X(91)90088-E.
2. "VI Conferencia Internacional sobre Matrices Riordan y Temas Relacionados". VI Conferencia Internacional sobre Matrices Riordan y Temas Relacionados .
3. Roman, S. (1984). El cálculo umbral . Nueva York: Academic Press.
4. Rogers, DG (1978). "Triángulos de Pascal, números Catalan y matrices de renovación". Matemáticas discretas . 22 (3): 301–310. doi :10.1016/0012-365X(78)90063-8.
5. He, TX; Sprugnoli, R. (2009). "Caracterización de secuencias de matrices de Riordan". Matemáticas discretas . 309 (12): 3962–3974. doi :10.1016/j.disc.2008.11.021.