Lema del determinante matricial

En álgebra lineal

En matemáticas , en particular en álgebra lineal , el lema del determinante matricial calcula el determinante de la suma de una matriz invertible A y el producto diádico , u v ^T , de un vector columna u y un vector fila v ^T . ^{[1] [2]}  

Declaración

Supongamos que A es una matriz cuadrada invertible y que u , v son vectores columna. Entonces, el lema del determinante matricial establece que

${\displaystyle \det(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}})=(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} )\,\det(\mathbf {A} )\,.}$

Aquí, uv ^T es el producto externo de dos vectores u y v .

El teorema también puede enunciarse en términos de la matriz adjunta de A :

${\displaystyle \det(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}})=\det(\mathbf {A} )+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {u} \,,}$

en cuyo caso se aplica independientemente de que la matriz A sea invertible o no.

Prueba

En primer lugar, la prueba del caso especial A = I se sigue de la igualdad: ^[3]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}&\mathbf {u} \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\-\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {u} \\0&1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} \end{pmatrix}}.}$

El determinante del lado izquierdo es el producto de los determinantes de las tres matrices. Como la primera y la tercera matriz son matrices triangulares con diagonal unitaria, sus determinantes son solo 1. El determinante de la matriz del medio es nuestro valor deseado. El determinante del lado derecho es simplemente (1 + v ^T u ). Por lo tanto, tenemos el resultado:

${\displaystyle \det(\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}})=1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} .}$

Entonces el caso general se puede encontrar como:

${\displaystyle {\begin{aligned}\det(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}})&=\det(\mathbf {A} )\det(\mathbf {I} +(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} )\mathbf {v} ^{\textsf {T}})\\&=\det(\mathbf {A} )\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} )\right).\end{aligned}}}$

Solicitud

Si ya se conocen el determinante y la inversa de A , la fórmula proporciona una forma numéricamente barata de calcular el determinante de A corregido por la matriz uv ^T . El cálculo es relativamente barato porque el determinante de A + uv ^T no tiene que calcularse desde cero (lo que en general es caro). Al utilizar vectores unitarios para u y/o v , se pueden manipular columnas, filas o elementos individuales ^[4] de A y calcular un determinante actualizado correspondiente de manera relativamente barata de esta manera.

Cuando el lema del determinante matricial se utiliza junto con la fórmula de Sherman-Morrison , tanto la inversa como el determinante pueden actualizarse convenientemente juntos.

Generalización

Supóngase que A es una matriz invertible de n por n y que U , V son matrices de n por m . Entonces

${\displaystyle \det(\mathbf {A} +\mathbf {UV} ^{\textsf {T}})=\det(\mathbf {I_{m}} +\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} )\det(\mathbf {A} ).}$

En el caso especial se trata de la identidad Weinstein-Aronszajn . ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I_{n}} }$

Dada además una matriz invertible m por m W , la relación también se puede expresar como

${\displaystyle \det(\mathbf {A} +\mathbf {UWV} ^{\textsf {T}})=\det(\mathbf {W} ^{-1}+\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} )\det(\mathbf {W} )\det(\mathbf {A} ).}$

Véase también

• La fórmula de Sherman-Morrison , que muestra cómo actualizar la inversa, A ⁻¹ , para obtener ( A + uv ^T ) ⁻¹ .
• La fórmula de Woodbury , que muestra cómo actualizar la inversa, A ⁻¹ , para obtener ( A + UCV ^T ) ⁻¹ .
• El teorema inverso del binomio para ( A + UCV ^T ) ⁻¹ .

Referencias

1. Harville, DA (1997). Álgebra matricial desde la perspectiva de un estadístico . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94978-X.
2. Brookes, M. (2005). "El Manual de Referencia de Matrix (en línea)".
3. Ding, J.; Zhou, A. (2007). "Valores propios de matrices actualizadas de rango uno con algunas aplicaciones". Applied Mathematics Letters . 20 (12): 1223–1226. doi : 10.1016/j.aml.2006.11.016 . ISSN  0893-9659.
4. William H. Press; Brian P. Flannery; Saul A. Teukolsky; William T. Vetterling (1992). Recetas numéricas en C: el arte de la computación científica . Cambridge University Press. págs. 73. ISBN. 0-521-43108-5.