cálculo de jones

Sistema de descripción de la polarización óptica.

En óptica , la luz polarizada se puede describir utilizando el cálculo de Jones , ^[1] inventado por RC Jones en 1941. La luz polarizada se representa mediante un vector de Jones , y los elementos ópticos lineales se representan mediante matrices de Jones . Cuando la luz cruza un elemento óptico, la polarización resultante de la luz emergente se encuentra tomando el producto de la matriz de Jones del elemento óptico y el vector de Jones de la luz incidente. Tenga en cuenta que el cálculo de Jones sólo es aplicable a la luz que ya está completamente polarizada. La luz polarizada aleatoriamente, parcialmente polarizada o incoherente debe tratarse mediante el cálculo de Mueller .

vector de jones

El vector de Jones describe la polarización de la luz en el espacio libre u otro medio isotrópico homogéneo no atenuante , donde la luz puede describirse adecuadamente como ondas transversales . Supongamos que una onda de luz plana monocromática viaja en la dirección z positiva , con frecuencia angular ω y vector de onda k = (0,0, k ), donde el número de onda k = ω / c . Entonces los campos eléctrico y magnético E y H son ortogonales a k en cada punto; ambos se encuentran en el plano "transversal" a la dirección del movimiento. Además, H se determina a partir de E mediante una rotación de 90 grados y un multiplicador fijo que depende de la impedancia de onda del medio. Entonces , la polarización de la luz se puede determinar estudiando E. La amplitud compleja de E se escribe

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i(kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz-\omega t)}.}$

Tenga en cuenta que el campo físico E es la parte real de este vector; el multiplicador complejo proporciona la información de fase. Aquí está la unidad imaginaria con . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$

El vector de Jones es

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}.}$

Por tanto, el vector de Jones representa la amplitud y la fase del campo eléctrico en las direcciones xey .

La suma de los cuadrados de los valores absolutos de las dos componentes de los vectores de Jones es proporcional a la intensidad de la luz. Es común normalizarlo a 1 en el punto inicial del cálculo para simplificar. También es común restringir el primer componente de los vectores de Jones para que sea un número real . Esto descarta la información de fase general que sería necesaria para calcular la interferencia con otros haces.

Tenga en cuenta que todos los vectores y matrices de Jones en este artículo emplean la convención de que la fase de la onda de luz está dada por , una convención utilizada por Hecht. Según esta convención, un aumento en (o ) indica un retraso (retraso) en la fase, mientras que una disminución indica un avance en la fase. Por ejemplo, un componente de vectores de Jones de ( ) indica un retraso de (o 90 grados) en comparación con 1 ( ). Collett usa la definición opuesta para la fase ( ). Además, Collet y Jones siguen diferentes convenciones para las definiciones de lateralidad de la polarización circular. La convención de Jones se denomina: "Desde el punto de vista del receptor", mientras que la convención de Collett se denomina: "Desde el punto de vista de la fuente". El lector debe tener cuidado con la elección de la convención al consultar referencias sobre el cálculo de Jones. ${\displaystyle \phi =kz-\omega t}$ ${\displaystyle \phi _{x}}$ ${\displaystyle \phi _{y}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle =e^{i\pi /2}}$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle =e^{0}}$ ${\displaystyle \phi =\omega t-kz}$

La siguiente tabla proporciona los 6 ejemplos comunes de vectores de Jones normalizados.

Un vector general que apunta a cualquier lugar de la superficie se escribe como ket . Cuando se emplea la esfera de Poincaré (también conocida como esfera de Bloch ), los kets básicos ( y ) deben asignarse a pares opuestos ( antipodales ) de los kets enumerados anteriormente. Por ejemplo, se podría asignar = y = . Estas asignaciones son arbitrarias. Los pares opuestos son ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |H\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |V\rangle }$

• ${\displaystyle |H\rangle }$y ${\displaystyle |V\rangle }$
• ${\displaystyle |D\rangle }$y ${\displaystyle |A\rangle }$
• ${\displaystyle |R\rangle }$y ${\displaystyle |L\rangle }$

La polarización de cualquier punto no igual o no sobre el círculo que lo atraviesa se conoce como polarización elíptica . ${\displaystyle |R\rangle }$ ${\displaystyle |L\rangle }$ ${\displaystyle |H\rangle ,|D\rangle ,|V\rangle ,|A\rangle }$

Matrices de Jones

Las matrices de Jones son operadores que actúan sobre los vectores de Jones definidos anteriormente. Estas matrices se implementan mediante varios elementos ópticos como lentes, divisores de haz, espejos, etc. Cada matriz representa una proyección sobre un subespacio complejo unidimensional de los vectores de Jones. La siguiente tabla ofrece ejemplos de matrices de Jones para polarizadores:

retardadores de fase

Un retardador de fase es un elemento óptico que produce una diferencia de fase entre dos componentes de polarización ortogonal de un haz de luz polarizado monocromático. ^[3] Matemáticamente, usando kets para representar los vectores de Jones, esto significa que la acción de un retardador de fase es transformar la luz con polarización.

${\displaystyle |P\rangle =c_{1}|1\rangle +c_{2}|2\rangle }$

a

${\displaystyle |P'\rangle =c_{1}{\rm {e}}^{i\eta /2}|1\rangle +c_{2}{\rm {e}}^{-i\eta /2}|2\rangle }$

donde están los componentes de polarización ortogonal (es decir ) que están determinados por la naturaleza física del retardador de fase. En general, los componentes ortogonales podrían ser dos vectores de base cualesquiera. Por ejemplo, la acción del retardador de fase circular es tal que ${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }$ ${\displaystyle \langle 1|2\rangle =0}$

${\displaystyle |1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}\qquad {\text{ and }}\qquad |2\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}}$

Sin embargo, los retardadores de fase lineales, que son polarizaciones lineales, se encuentran más comúnmente en la discusión y en la práctica. De hecho, a veces el término "retardador de fase" se utiliza para referirse específicamente a retardadores de fase lineal. ${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }$

Los retardadores de fase lineal suelen estar fabricados a partir de cristales uniaxiales birrefringentes como la calcita , el MgF ₂ o el cuarzo . Las placas fabricadas con estos materiales para este fin se denominan placas onduladas . Los cristales uniaxiales tienen un eje cristalino que es diferente de los otros dos ejes cristalinos (es decir, n _i ≠ n _j = n _k ). Este eje único se llama eje extraordinario y también se le conoce como eje óptico . Un eje óptico puede ser el eje rápido o lento del cristal, dependiendo del cristal que se tenga a mano. La luz viaja con una velocidad de fase más alta a lo largo de un eje que tiene el índice de refracción más pequeño y este eje se llama eje rápido. De manera similar, un eje que tiene el índice de refracción más grande se llama eje lento ya que la velocidad de fase de la luz es la más baja a lo largo de este eje. Los cristales uniaxiales "negativos" (por ejemplo, calcita CaCO ₃ , zafiro Al ₂ O ₃ ) tienen n _e < n _o así que para estos cristales, el eje extraordinario (eje óptico) es el eje rápido, mientras que para los cristales uniaxiales "positivos" (por ejemplo , cuarzo SiO ₂ , fluoruro de magnesio MgF ₂ , rutilo TiO ₂ ), n _e > n _o y, por tanto, el eje extraordinario (eje óptico) es el eje lento. Existen otros retardadores de fase lineal disponibles comercialmente y se utilizan en aplicaciones más especializadas. Los rombos de Fresnel son una de esas alternativas.

Cualquier retardador de fase lineal con su eje rápido definido como el eje x o y tiene cero términos fuera de la diagonal y, por lo tanto, puede expresarse convenientemente como

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\rm {e}}^{i\phi _{x}}&0\\0&{\rm {e}}^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}}$

donde y son los desfases de los campos eléctricos en las direcciones y respectivamente. En la convención de fase , defina la fase relativa entre las dos ondas como . Entonces un positivo (es decir > ​​) significa que no alcanza el mismo valor hasta más adelante, es decir, lidera . De manera similar, si , entonces lidera . ${\displaystyle \phi _{x}}$ ${\displaystyle \phi _{y}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \phi =kz-\omega t}$ ${\displaystyle \epsilon =\phi _{y}-\phi _{x}}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \phi _{y}}$ ${\displaystyle \phi _{x}}$ ${\displaystyle E_{y}}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{y}}$ ${\displaystyle \epsilon <0}$ ${\displaystyle E_{y}}$ ${\displaystyle E_{x}}$

Por ejemplo, si el eje rápido de una placa de cuarto de onda es horizontal, entonces la velocidad de fase a lo largo de la dirección horizontal está por delante de la dirección vertical, es decir, adelanta . Por tanto, lo que para un cuarto de placa de onda produce . ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{y}}$ ${\displaystyle \phi _{x}<\phi _{y}}$ ${\displaystyle \phi _{y}=\phi _{x}+\pi /2}$

En la convención opuesta , defina la fase relativa como . Entonces significa que no alcanza el mismo valor hasta más adelante, es decir, leads . ${\displaystyle \phi =\omega t-kz}$ ${\displaystyle \epsilon =\phi _{x}-\phi _{y}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle E_{y}}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{y}}$

La matriz de Jones para un material birrefringente arbitrario es la forma más general de transformación de polarización en el cálculo de Jones; puede representar cualquier transformación de polarización. Para ver esto, se puede mostrar

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\rm {e}}^{-{\frac {i\eta }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\sin ^{2}\theta &\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos(\eta /2)-i\sin(\eta /2)\cos(2\theta )&-\sin(\eta /2)\sin(\phi )\sin(2\theta )-i\sin(\eta /2)\cos(\phi )\sin(2\theta )\\\sin(\eta /2)\sin(\phi )\sin(2\theta )-i\sin(\eta /2)\cos(\phi )\sin(2\theta )&\cos(\eta /2)+i\sin(\eta /2)\cos(2\theta )\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

La matriz anterior es una parametrización general para los elementos de SU(2) , usando la convención

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\ \ |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~}$

donde la línea superior denota conjugación compleja .

Finalmente, reconociendo que el conjunto de transformaciones unitarias en se puede expresar como ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle \left\{{\rm {e}}^{i\gamma }{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\ \ |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1,\ \ \gamma \in [0,2\pi ]\right\}}$

queda claro que la matriz de Jones para un material birrefringente arbitrario representa cualquier transformación unitaria, hasta un factor de fase . Por lo tanto, para una elección adecuada de , y , se puede encontrar una transformación entre dos vectores de Jones cualesquiera, hasta un factor de fase . Sin embargo, en el cálculo de Jones, dichos factores de fase no cambian la polarización representada de un vector de Jones, por lo que se consideran arbitrarios o se imponen ad hoc para ajustarse a una convención establecida. ${\displaystyle {\rm {e}}^{i\gamma }}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\rm {e}}^{i\gamma }}$

Las expresiones especiales para los retardadores de fase se pueden obtener tomando valores de parámetros adecuados en la expresión general para un material birrefringente. ^[7] En la expresión general:

• El retardo de fase relativo inducido entre el eje rápido y el eje lento viene dado por ${\displaystyle \eta =\phi _{y}-\phi _{x}}$
• ${\displaystyle \theta }$es la orientación del eje rápido con respecto al eje x.
• ${\displaystyle \phi }$es la circularidad.

Tenga en cuenta que para retardadores lineales, = 0 y para retardadores circulares, = ± /2, = /4. En general, para retardadores elípticos, toma valores entre - /2 y /2. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Elementos rotados axialmente

Supongamos que un elemento óptico tiene su eje óptico ^{[ se necesita aclaración ]} perpendicular al vector de superficie para el plano de incidencia ^{[ se necesita aclaración ]} y gira alrededor de este vector de superficie en un ángulo θ/2 (es decir, el plano principal a través del cual pasa el eje óptico , ^{[ se necesita aclaración ]} forma un ángulo θ/2 con respecto al plano de polarización del campo eléctrico ^{[ se necesita aclaración ]} de la onda TE incidente). Recuerde que una placa de media onda gira la polarización el doble del ángulo entre la polarización incidente y el eje óptico (plano principal). Por lo tanto, la matriz de Jones para el estado de polarización rotada, M( θ ), es

${\displaystyle M(\theta )=R(-\theta )\,M\,R(\theta ),}$

dónde ${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.}$

Esto concuerda con la expresión para una placa de media onda en la tabla anterior. Estas rotaciones son idénticas a la transformación del divisor unitario de haz en física óptica dada por

${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}r&t'\\t&r'\end{pmatrix}}}$

donde los coeficientes cebados y no cebados representan haces que inciden desde lados opuestos del divisor de haz. Las componentes reflejada y transmitida adquieren una fase θ _r y θ _t , respectivamente. Los requisitos para una representación válida del elemento son ^[8]

${\displaystyle \theta _{\text{t}}-\theta _{\text{r}}+\theta _{\text{t'}}-\theta _{\text{r'}}=\pm \pi }$

y ${\displaystyle r^{*}t'+t^{*}r'=0.}$

Ambas representaciones son matrices unitarias que cumplen estos requisitos; y como tales, ambos son válidos.

Elementos rotados arbitrariamente

Esto implicaría una matriz de rotación tridimensional . Véase Russell A. Chipman y Garam Yun para conocer el trabajo realizado al respecto. ^{[9] [10] [11] [12] [13]}

Ver también

• Polarización
• Parámetros de dispersión
• Parámetros de Stokes
• cálculo de mueller
• Polarización de fotones

Notas

1. El prefactor aparece sólo si se definen los retrasos de fase de forma simétrica; eso es, . Esto se hace en Hecht ^[4] pero no en Fowles. ^[2] En la última referencia, las matrices de Jones para una placa de cuarto de onda no tienen prefactor. ${\displaystyle {\rm {e}}^{i\pi /4}}$ ${\displaystyle \phi _{x}=-\phi _{y}=\pi /4}$

Referencias

1. "Cálculo de Jones". espía.org . Consultado el 7 de agosto de 2022 .
2. Fowles, G. (1989). Introducción a la óptica moderna (2ª ed.). Dover. pag. 35.ISBN _ 9780486659572.
3. PS Theocaris; EE Gdoutos (1979). Teoría matricial de la fotoelasticidad. Serie Springer en Ciencias Ópticas. vol. 11 (1ª ed.). Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-540-35789-6. ISBN 978-3-662-15807-4.
4. C Eugene Hecht (2001). Óptica (4ª ed.). pag. 378.ISBN _ 978-0805385663.
5. "Cálculo de Jones". espía.org . Consultado el 29 de abril de 2023 .
6. Gerald, A.; Burch, JM (1975). Introducción a los métodos matriciales en óptica (1ª ed.). John Wiley e hijos . pag. 212.ISBN _ 978-0471296850.
7. Gill, José Jorge; Bernabéu, Eusebio (1987). "Obtención de los parámetros de polarización y retardo de un sistema óptico no despolarizante a partir de la descomposición polar de su matriz de Mueller". Optik . 76 (2): 67–71. ISSN  0030-4026.
8. Oh, ZY; Mandel, L. (1989). "Derivación de relaciones de reciprocidad para un divisor de haz a partir del balance de energía". Soy. J. Física . 57 (1): 66. Código bibliográfico : 1989AmJPh..57...66O. doi :10.1119/1.15873.
9. Chipman, RA; Lam, WST; Joven, G. (2018). Luz Polarizada y Sistemas Ópticos. Ciencias Ópticas y Aplicaciones de la Luz. Prensa CRC. ISBN 978-1-4987-0057-3. Consultado el 20 de enero de 2023 .
10. Chipman, Russell A. (1995). "Mecánica del trazado de rayos de polarización". Optar. Ing . 34 (6): 1636-1645. Código Bib : 1995OptEn..34.1636C. doi :10.1117/12.202061.
11. Yun, Garam; Crabtree, Karlton; Chipman, Russell A. (2011). "Cálculo I del trazado de rayos de polarización tridimensional: definición y diatenuación". Óptica Aplicada . 50 (18): 2855–2865. Código Bib : 2011ApOpt..50.2855Y. doi :10.1364/AO.50.002855. PMID  21691348.
12. Yun, Garam; McClain, Stephen C.; Chipman, Russell A. (2011). "Cálculo II del trazado de rayos de polarización tridimensional: retardo". Óptica Aplicada . 50 (18): 2866–2874. Código Bib : 2011ApOpt..50.2866Y. doi :10.1364/AO.50.002866. PMID  21691349.
13. Yun, Garam (2011). Trazado de rayos de polarización (tesis doctoral). Universidad de Arizona. hdl :10150/202979.

Otras lecturas

• E. Collett, Guía de campo para la polarización , Guías de campo SPIE vol. FG05 , SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6 . 
• D. Goldstein y E. Collett, Polarized Light , 2ª ed., CRC Press (2003). ISBN 0-8247-4053-X . 
• E. Hecht, Óptica , 2ª ed., Addison-Wesley (1987). ISBN 0-201-11609-X . 
• Frank L. Pedrotti, SJ Leno S. Pedrotti, Introducción a la óptica , 2ª ed., Prentice Hall (1993). ISBN 0-13-501545-6 
• A. Gerald y JM Burch, Introducción a los métodos matriciales en óptica , 1ª ed., John Wiley & Sons (1975). ISBN 0-471-29685-6 
• Jones, R. Clark (1941). "Un nuevo cálculo para el tratamiento de sistemas ópticos, I. Descripción y Discusión del Cálculo". Revista de la Sociedad Óptica de América . 31 (7): 488–493. doi :10.1364/JOSA.31.000488.
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• Jones, R. Clark (1941). "Un nuevo cálculo para el tratamiento de sistemas ópticos, III La teoría de la actividad óptica de Sohncke". Revista de la Sociedad Óptica de América . 31 (7): 500–503. doi :10.1364/JOSA.31.000500.
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• William Shurcliff (1966) Luz polarizada: producción y uso , capítulo 8 Cálculo de Mueller y Cálculo de Jones, página 109, Harvard University Press .

enlaces externos

• Cálculo de Jones escrito por E. Collett en Optipedia