Matriz polifásica

En el procesamiento de señales , una matriz polifásica es una matriz cuyos elementos son máscaras de filtro . Representa un banco de filtros tal como se utiliza en codificadores de subbanda, también conocidos como transformadas wavelet discretas . ^[1]

Si hay dos filtros, entonces un nivel de la transformada wavelet tradicional asigna una señal de entrada a dos señales de salida , cada una de la mitad de longitud: ${\displaystyle \scriptstyle h,\,g}$ ${\displaystyle \scriptstyle a_{0}}$ ${\displaystyle \scriptstyle a_{1},\,d_{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&=(h\cdot a_{0})\downarrow 2\\d_{1}&=(g\cdot a_{0})\downarrow 2\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que el punto significa multiplicación de polinomios , es decir, convolución , y significa disminución de muestreo . ${\displaystyle \scriptstyle \downarrow }$

Si se implementa directamente la fórmula anterior, se calcularán valores que luego se eliminarán mediante el muestreo descendente. Puede evitar su cálculo dividiendo los filtros y la señal en valores indexados pares e impares antes de la transformación wavelet:

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\mbox{e}}&=h\downarrow 2&a_{0,{\mbox{e}}}&=a_{0}\downarrow 2\\h_{\mbox{o}}&=(h\leftarrow 1)\downarrow 2&a_{0,{\mbox{o}}}&=(a_{0}\leftarrow 1)\downarrow 2\end{aligned}}}$

Las flechas y denotan desplazamiento hacia la izquierda y hacia la derecha, respectivamente. Tendrán la misma precedencia que la convolución, porque en realidad son convoluciones con un impulso delta discreto desplazado . ${\displaystyle \scriptstyle \leftarrow }$ ${\displaystyle \scriptstyle \rightarrow }$

${\displaystyle \delta =(\dots ,0,0,{\underset {0-{\mbox{th position}}}{1}},0,0,\dots )}$

La transformación wavelet reformulada para los filtros divididos es:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&=h_{\mbox{e}}\cdot a_{0,{\mbox{e}}}+h_{\mbox{o}}\cdot a_{0,{\mbox{o}}}\rightarrow 1\\d_{1}&=g_{\mbox{e}}\cdot a_{0,{\mbox{e}}}+g_{\mbox{o}}\cdot a_{0,{\mbox{o}}}\rightarrow 1\end{aligned}}}$

Esto se puede escribir como multiplicación de matriz-vector.

${\displaystyle {\begin{aligned}P&={\begin{pmatrix}h_{\mbox{e}}&h_{\mbox{o}}\rightarrow 1\\g_{\mbox{e}}&g_{\mbox{o}}\rightarrow 1\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}a_{1}\\d_{1}\end{pmatrix}}&=P\cdot {\begin{pmatrix}a_{0,{\mbox{e}}}\\a_{0,{\mbox{o}}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

Esta matriz es la matriz polifásica. ${\displaystyle \scriptstyle P}$

Por supuesto, una matriz polifásica puede tener cualquier tamaño, no es necesario que tenga forma cuadrada. Es decir, el principio se adapta bien a cualquier banco de filtros , multiwavelets y transformadas wavelet basadas en refinamientos fraccionarios .

Propiedades

La representación de la codificación de subbandas mediante la matriz polifásica es más que una mera simplificación de la escritura. Permite la adaptación de muchos resultados de la teoría de matrices y de módulos . Las siguientes propiedades se explican para una matriz, pero se escalan igualmente a dimensiones superiores. ${\displaystyle \scriptstyle 2\,\times \,2}$

Invertibilidad/reconstrucción perfecta

El caso en el que una matriz polifásica permite la reconstrucción de una señal procesada a partir de los datos filtrados se denomina propiedad de reconstrucción perfecta. Matemáticamente, esto es equivalente a la invertibilidad. Según el teorema de invertibilidad de una matriz sobre un anillo, la matriz polifásica es invertible si y solo si el determinante de la matriz polifásica es un delta de Kronecker , que es cero en todas partes excepto en un valor.

${\displaystyle {\begin{aligned}\det P&=h_{\mbox{e}}\cdot g_{\mbox{o}}-h_{\mbox{o}}\cdot g_{\mbox{e}}\\\exists A\ A\cdot P&=I\iff \exists c\ \exists k\ \det P=c\cdot \delta \rightarrow k\end{aligned}}}$

Por la regla de Cramer, la inversa de se puede dar inmediatamente. ${\displaystyle \scriptstyle P}$

${\displaystyle P^{-1}\cdot \det P={\begin{pmatrix}g_{\mbox{o}}\rightarrow 1&-h_{\mbox{o}}\rightarrow 1\\-g_{\mbox{e}}&h_{\mbox{e}}\end{pmatrix}}}$

Ortogonalidad

La ortogonalidad significa que la matriz adjunta es también la matriz inversa de . La matriz adjunta es la matriz transpuesta con filtros adjuntos . ${\displaystyle \scriptstyle P^{*}}$ ${\displaystyle \scriptstyle P}$

${\displaystyle P^{*}={\begin{pmatrix}h_{\mbox{e}}^{*}&g_{\mbox{e}}^{*}\\h_{\mbox{o}}^{*}\leftarrow 1&g_{\mbox{o}}^{*}\leftarrow 1\end{pmatrix}}}$

Esto implica que se conserva la norma euclidiana de las señales de entrada, es decir, la transformada wavelet correspondiente es una isometría .

${\displaystyle \left\|a_{1}\right\|_{2}^{2}+\left\|d_{1}\right\|_{2}^{2}=\left\|a_{0}\right\|_{2}^{2}}$

La condición de ortogonalidad

${\displaystyle P\cdot P^{*}=I}$

se puede escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\mbox{e}}^{*}\cdot h_{\mbox{e}}+h_{\mbox{o}}^{*}\cdot h_{\mbox{o}}&=\delta \\g_{\mbox{e}}^{*}\cdot g_{\mbox{e}}+g_{\mbox{o}}^{*}\cdot g_{\mbox{o}}&=\delta \\h_{\mbox{e}}^{*}\cdot g_{\mbox{e}}+h_{\mbox{o}}^{*}\cdot g_{\mbox{o}}&=0\end{aligned}}}$

Norma del operador

En el caso de matrices polifásicas no ortogonales, surge la pregunta de qué normas euclidianas puede asumir la salida. Esto se puede acotar con la ayuda del operador norma .

${\displaystyle \forall x\ \left\|P\cdot x\right\|_{2}\in \left[\left\|P^{-1}\right\|_{2}^{-1}\cdot \|x\|_{2},\|P\|_{2}\cdot \|x\|_{2}\right]}$

Para la matriz polifásica, la norma del operador euclidiano se puede dar explícitamente utilizando la norma de Frobenius y la transformada z : ^[2] ${\displaystyle \scriptstyle 2\,\times \,2}$ ${\displaystyle \scriptstyle \|\cdot \|_{F}}$ ${\displaystyle \scriptstyle Z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p(z)&={\frac {1}{2}}\cdot \left\|ZP(z)\right\|_{F}^{2}\\q(z)&=\left|\det[ZP(z)]\right|^{2}\\\|P\|_{2}&=\max \left\{{\sqrt {p(z)+{\sqrt {p(z)^{2}-q(z)}}}}:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}\\\left\|P^{-1}\right\|_{2}^{-1}&=\min \left\{{\sqrt {p(z)-{\sqrt {p(z)^{2}-q(z)}}}}:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}\end{aligned}}}$

Este es un caso especial de la matriz donde la norma del operador se puede obtener a través de la transformada z y el radio espectral de una matriz o la norma espectral correspondiente . ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|P\right\|_{2}&={\sqrt {\max \left\{\lambda _{\text{max}}\left[ZP^{*}(z)\cdot ZP(z)\right]:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}}}\\&=\max \left\{\left\|ZP(z)\right\|_{2}:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}\\[3pt]\left\|P^{-1}\right\|_{2}^{-1}&={\sqrt {\min \left\{\lambda _{\text{min}}\left[ZP^{*}(z)\cdot ZP(z)\right]:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}}}\end{aligned}}}$

Una señal, donde se suponen estos límites, se puede derivar del vector propio correspondiente al valor propio maximizador y minimizador.

Esquema de elevación

El concepto de matriz polifásica permite la descomposición matricial . Por ejemplo, la descomposición en matrices de adición conduce al esquema de elevación . ^[3] Sin embargo, las descomposiciones matriciales clásicas como la descomposición LU y QR no se pueden aplicar de inmediato, porque los filtros forman un anillo con respecto a la convolución, no un campo .

Referencias

1. Strang, Gilbert ; Nguyen, Truong (1997). Ondículas y bancos de filtros . Wellesley-Cambridge Press. ISBN 0-9614088-7-1.
2. Thielemann, Henning (2001). Construcción adaptativa de wavelets para compresión de imágenes (tesis de diploma). Universidad Martín Lutero Halle-Wittenberg, Fachbereich Mathematik/Informatik. Archivado desde el original el 18 de julio de 2011 . Consultado el 10 de noviembre de 2006 .
3. Daubechies, Ingrid ; Sweldens, Wim (1998). "Factorización de transformadas wavelet en escalones de elevación". J. Fourier Anal. Appl . 4 (3): 245–267. doi :10.1007/BF02476026. S2CID  195242970. Archivado desde el original el 7 de diciembre de 2006.