Matriz de admitancia nodal

Matriz N x N que describe un sistema de potencia lineal con N buses

En ingeniería eléctrica , la matriz de admitancia nodal (o simplemente matriz de admitancia ) es una matriz N x N que describe un sistema eléctrico lineal con N buses . Representa la admitancia nodal de los buses en un sistema eléctrico. En sistemas realistas que contienen miles de buses, la matriz de admitancia es bastante dispersa. Cada bus en un sistema eléctrico real está conectado generalmente a solo unos pocos buses más a través de las líneas de transmisión . ^[1] La matriz de admitancia nodal se utiliza en la formulación del problema de flujo de potencia .

Construcción a partir de un diagrama unifilar

La matriz de admitancia nodal de un sistema de potencia es una forma de matriz laplaciana del diagrama de admitancia nodal del sistema de potencia, que se obtiene mediante la aplicación de las leyes de Kirchhoff al diagrama de admitancia del sistema de potencia. A partir del diagrama unifilar de un sistema de potencia, el diagrama de admitancia nodal se obtiene mediante:

• reemplazando cada línea en el diagrama con su admitancia equivalente, y
• convirtiendo todas las fuentes de voltaje en su fuente de corriente equivalente.

Considere un gráfico de admitancia con buses. El vector de voltajes del bus , , es un vector donde es el voltaje del bus , y el vector de inyecciones de corriente del bus , , es un vector donde es la corriente acumulada inyectada en el bus por todas las cargas y fuentes conectadas al bus. La admitancia entre buses y es un número complejo , y es la suma de la admitancia de todas las líneas que conectan buses y . La admitancia entre el bus y tierra es , y es la suma de la admitancia de todas las cargas conectadas al bus . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N\times 1}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle N\times 1}$ ${\displaystyle I_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y_{ki}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y_{k}}$ ${\displaystyle k}$

Consideremos la inyección de corriente , , en el bus . Aplicando la ley de corriente de Kirchhoff ${\displaystyle I_{k}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle I_{k}=\sum _{i=1,2,\ldots ,N}I_{ki}}$

donde es la corriente de bus a bus para y es la corriente de bus a tierra a través de la carga de bus. Aplicando la ley de Ohm al diagrama de admitancia, los voltajes de bus y las corrientes de línea y carga están vinculados por la relación ${\displaystyle I_{ki}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k\neq i}$ ${\displaystyle I_{kk}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle I_{ki}={\begin{cases}V_{k}{y_{k}},&{\mbox{if}}\quad i=k\\(V_{k}-V_{i})y_{ki},&{\mbox{if}}\quad i\neq k.\end{cases}}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle I_{k}=\sum _{i=1,2,\ldots ,N \atop i\neq k}{(V_{k}-V_{i})y_{ki}}+V_{k}y_{k}=V_{k}\left(y_{k}+\sum _{i=1,2,\ldots ,N \atop i\neq k}y_{ki}\right)-\sum _{i=1,2,\ldots ,N \atop i\neq k}V_{i}y_{ki}}$

Esta relación se puede escribir sucintamente en forma matricial utilizando la matriz de admitancia. La matriz de admitancia nodal es una matriz tal que la inyección de corriente y voltaje del bus satisface la ley de Ohm. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle N\times N}$

${\displaystyle YV=I}$

en formato vectorial. Las entradas de se determinan entonces mediante las ecuaciones para las inyecciones de corriente en los buses, lo que da como resultado ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y_{kj}={\begin{cases}y_{k}+\sum _{i=1,2,\ldots ,N \atop i\neq k}{y_{ki}},&{\mbox{if}}\quad k=j\\-y_{kj},&{\mbox{if}}\quad k\neq j.\end{cases}}}$

Figura 1 : Diagrama de admitancia de una red de tres buses.

Como ejemplo, considere el diagrama de admitancia de una red de tres buses completamente conectada de la figura 1. La matriz de admitancia derivada de la red de tres buses en la figura es:

${\displaystyle Y={\begin{pmatrix}y_{1}+y_{12}+y_{13}&-y_{12}&-y_{13}\\-y_{12}&y_{2}+y_{12}+y_{23}&-y_{23}\\-y_{13}&-y_{23}&y_{3}+y_{13}+y_{23}\\\end{pmatrix}}}$

Las entradas diagonales se denominan autoadmitancias de los nodos de la red. Las entradas no diagonales son las admitancias mutuas de los nodos correspondientes a los subíndices de la entrada. La matriz de admitancia es típicamente una matriz simétrica como . Sin embargo, las extensiones del modelo de línea pueden hacer que sea asimétrica. Por ejemplo, el modelado de transformadores de cambio de fase da como resultado una matriz de admitancia hermítica . ^[2] ${\displaystyle Y_{11},Y_{22},...,Y_{nn}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y_{ki}=Y_{ik}}$ ${\displaystyle Y}$

Aplicaciones

La matriz de admitancia se utiliza con mayor frecuencia en la formulación del problema de flujo de potencia . ^{[3] [4]}

Véase también

• Parámetros de admisión
• Análisis nodal
• Z-bus

Referencias

1. Grainger, John (1994). Análisis de sistemas de potencia . McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0070612938.
2. Saadat, Hadi (1999). "6.7 Transformadores de cambio de tomas". Análisis de sistemas de potencia . Reino Unido: WCB/McGraw-Hill. ISBN 978-0075616344.
3. McCalley, James. "Las ecuaciones de flujo de potencia" (PDF) . Ingeniería del estado de Iowa .
4. Saadat, Hadi (1999). Análisis de sistemas de potencia . Reino Unido: WCB/McGraw-Hill. ISBN 978-0075616344.

Enlaces externos

• Programa y código fuente en AC/C++ para calcular matrices Ybus y Zbus