Análisis nodal

Método de análisis de circuitos eléctricos

La ley de corriente de Kirchhoff es la base del análisis nodal.

En el análisis de circuitos eléctricos, el análisis nodal , el análisis de voltaje de nodo o el método de corriente de rama es un método para determinar el voltaje ( diferencia de potencial ) entre " nodos " (puntos donde se conectan elementos o ramas) en un circuito eléctrico en términos de las corrientes de rama.

El análisis nodal es esencialmente una aplicación sistemática de la ley de corrientes de Kirchhoff (LKC) para el análisis de circuitos . De manera similar, el análisis de malla es una aplicación sistemática de la ley de voltajes de Kirchhoff (KVL). El análisis nodal escribe una ecuación en cada nodo eléctrico que especifica que las corrientes de rama incidentes en un nodo deben sumar cero (usando KCL). Las corrientes de rama se escriben en términos de los voltajes de nodo del circuito. Como consecuencia, cada relación constitutiva de rama debe dar la corriente como una función del voltaje; una representación de admitancia . Por ejemplo, para un resistor, I _rama = V _rama * G, donde G (=1/R) es la admitancia (conductancia) del resistor.

El análisis nodal es posible cuando todas las relaciones constitutivas de las ramas de los elementos del circuito tienen una representación de admitancia. El análisis nodal produce un conjunto compacto de ecuaciones para la red, que se puede resolver a mano si es pequeña, o se puede resolver rápidamente utilizando álgebra lineal por computadora. Debido al sistema compacto de ecuaciones, muchos programas de simulación de circuitos (por ejemplo, SPICE ) utilizan el análisis nodal como base. Cuando los elementos no tienen representaciones de admitancia, se puede utilizar una extensión más general del análisis nodal, el análisis nodal modificado .

Procedimiento

1. Observe todos los segmentos de cable conectados en el circuito. Éstos son los nodos del análisis nodal.
2. Seleccione un nodo como referencia de tierra . La elección no afecta los voltajes de los elementos (pero sí los voltajes nodales) y es solo una cuestión de convención. Elegir el nodo con más conexiones puede simplificar el análisis. Para un circuito de N nodos, el número de ecuaciones nodales es N −1.
3. Asignar una variable a cada nodo cuyo voltaje se desconoce. Si ya se conoce el voltaje, no es necesario asignar una variable.
4. Para cada voltaje desconocido, formule una ecuación basada en la Ley de corriente de Kirchhoff (es decir, sume todas las corrientes que salen del nodo y marque la suma como igual a cero). La corriente entre dos nodos es igual al voltaje del nodo por donde sale la corriente menos el voltaje del nodo por donde entra la corriente, ambos divididos por la resistencia entre los dos nodos.
5. Si hay fuentes de voltaje entre dos voltajes desconocidos, se unen los dos nodos como un supernodo . Las corrientes de los dos nodos se combinan en una sola ecuación y se forma una nueva ecuación para los voltajes.
6. Resuelva el sistema de ecuaciones simultáneas para cada voltaje desconocido.

Ejemplos

Caso básico

Circuito de ejemplo básico con un voltaje desconocido, V ₁ .

El único voltaje desconocido en este circuito es . Hay tres conexiones a este nodo y, en consecuencia, tres corrientes a considerar. La dirección de las corrientes en los cálculos se elige para que estén alejadas del nodo. ${\displaystyle V_{1}}$

1. Corriente a través de la resistencia : ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle (V_{1}-V_{S})/R_{1}}$
2. Corriente a través de la resistencia : ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}/R_{2}}$
3. Corriente a través de fuente de corriente : ${\displaystyle I_{S}}$ ${\displaystyle -I_{S}}$

Con la ley de corriente de Kirchhoff, obtenemos:

$${\displaystyle {\frac {V_{1}-V_{S}}{R_{1}}}+{\frac {V_{1}}{R_{2}}}-I_{S}=0}$$

Esta ecuación se puede resolver con respecto a V ₁ :

$${\displaystyle V_{1}={\frac {\left({\frac {V_{S}}{R_{1}}}+I_{S}\right)}{\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)}}}$$

Finalmente, el voltaje desconocido se puede resolver sustituyendo los símbolos por valores numéricos. Las corrientes desconocidas son fáciles de calcular una vez que se conocen todos los voltajes del circuito.

$${\displaystyle V_{1}={\frac {\left({\frac {5{\text{ V}}}{100\,\Omega }}+20{\text{ mA}}\right)}{\left({\frac {1}{100\,\Omega }}+{\frac {1}{200\,\Omega }}\right)}}={\frac {14}{3}}{\text{ V}}}$$

Supernodos

En este circuito, VA _está entre dos voltajes desconocidos y, por lo tanto, es un supernodo.

En este circuito, inicialmente tenemos dos voltajes desconocidos, V ₁ y V ₂ . Ya sabemos que el voltaje en V ₃ es V _B porque el otro terminal de la fuente de voltaje está en potencial de tierra.

La corriente que pasa por la fuente de tensión VA _no se puede calcular directamente. Por lo tanto, no podemos escribir las ecuaciones de corriente ni para V ₁ ni para V ₂ . Sin embargo, sabemos que la misma corriente que sale del nodo V ₂ debe entrar en el nodo V ₁ . Aunque los nodos no se pueden resolver individualmente, sabemos que la corriente combinada de estos dos nodos es cero. Esta combinación de los dos nodos se denomina técnica del supernodo y requiere una ecuación adicional: V ₁ = V ₂ + _VA .

El conjunto completo de ecuaciones para este circuito es:

$${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {V_{1}-V_{\text{B}}}{R_{1}}}+{\frac {V_{2}-V_{\text{B}}}{R_{2}}}+{\frac {V_{2}}{R_{3}}}=0\\V_{1}=V_{2}+V_{\text{A}}\\\end{cases}}}$$

Sustituyendo $${\displaystyle V_{2}={\frac {(R_{1}+R_{2})R_{3}V_{\text{B}}-R_{2}R_{3}V_{\text{A}}}{(R_{1}+R_{2})R_{3}+R_{1}R_{2}}}}$$

Forma matricial para la ecuación de voltaje de nodo

En general, para un circuito con nodos, las ecuaciones de voltaje de nodo obtenidas por análisis nodal se pueden escribir en forma matricial como se deriva a continuación. Para cualquier nodo , la LCK establece donde es el negativo de la suma de las conductancias entre nodos y , y es el voltaje del nodo . Esto implica donde es la suma de las conductancias conectadas al nodo . Observamos que el primer término contribuye linealmente al nodo a través de , mientras que el segundo término contribuye linealmente a cada nodo conectado al nodo a través de con un signo menos. Si una fuente/entrada de corriente independiente también está conectada al nodo , la expresión anterior se generaliza a . Se muestra fácilmente que se pueden combinar las ecuaciones de voltaje de nodo anteriores para todos los nodos y escribirlas en la siguiente forma matricial ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle \sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=0}$ ${\displaystyle G_{kj}=G_{jk}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle v_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle 0=\sum _{j\neq k}G_{jk}(v_{k}-v_{j})=\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ ${\displaystyle G_{kk}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G_{kk}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G_{jk}}$ ${\displaystyle i_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\textstyle i_{k}=G_{kk}v_{k}-\sum _{j\neq k}G_{jk}v_{j}}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}G_{11}&G_{12}&\cdots &G_{1N}\\G_{21}&G_{22}&\cdots &G_{2N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\G_{N1}&G_{N2}&\cdots &G_{NN}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{N}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i_{1}\\i_{2}\\\vdots \\i_{N}\end{pmatrix}}}$$o simplemente ${\textstyle \mathbf {Gv} =\mathbf {i} .}$

La matriz del lado izquierdo de la ecuación es singular, ya que satisface donde es una matriz de columnas que contiene solo 1. Esto corresponde al hecho de la conservación de la corriente, es decir, y la libertad de elegir un nodo de referencia (tierra). En la práctica, se toma que el voltaje en el nodo de referencia es 0. Considere que es el último nodo, . En este caso, es sencillo verificar que las ecuaciones resultantes para los otros nodos siguen siendo las mismas y, por lo tanto, uno puede simplemente descartar la última columna, así como la última línea de la ecuación matricial. Este procedimiento da como resultado una ecuación matricial no singular dimensional con las definiciones de todos los elementos que permanecen sin cambios. ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {G1} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle N\times 1}$ ${\textstyle \sum _{k}i_{k}=0}$ ${\displaystyle v_{N}=0}$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle (N-1)\times (N-1)}$

Véase también

• Análisis de malla
• Matriz Ybus
• Topología (circuitos eléctricos)
• Conservación de carga
• Diagrama de circuito

Referencias

• P. Dimo ​​Análisis nodal de sistemas de potencia Abacus Press Kent 1975

Enlaces externos

• Método de corriente de rama
• Solucionador de problemas de cuatro nodos en línea
• Ejemplo de análisis nodal simple