Función de masa de probabilidad

Distribución de probabilidad de variable discreta

Gráfica de una función de masa de probabilidad. Todos los valores de esta función deben ser no negativos y sumar 1.

En probabilidad y estadística , una función de masa de probabilidad (a veces llamada función de probabilidad o función de frecuencia ^[1] ) es una función que da la probabilidad de que una variable aleatoria discreta sea exactamente igual a algún valor. ^[2] A veces también se la conoce como función de densidad de probabilidad discreta . La función de masa de probabilidad es a menudo el medio principal para definir una distribución de probabilidad discreta , y tales funciones existen para variables aleatorias escalares o multivariadas cuyo dominio es discreto.

Una función de masa de probabilidad se diferencia de una función de densidad de probabilidad (PDF) en que esta última está asociada con variables aleatorias continuas en lugar de discretas. Una PDF debe integrarse en un intervalo para obtener una probabilidad. ^[3]

El valor de la variable aleatoria que tiene la mayor masa de probabilidad se llama moda .

Definición formal

La función de masa de probabilidad es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta y proporciona los valores posibles y sus probabilidades asociadas. Es la función definida por ${\displaystyle p:\mathbb {R} \to [0,1]}$

${\displaystyle p_{X}(x)=P(X=x)}$

para , ^[3] donde es una medida de probabilidad . también se puede simplificar como . ^[4] ${\displaystyle -\infty <x<\infty }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p_{X}(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$

Las probabilidades asociadas con todos los valores (hipotéticos) deben ser no negativas y sumar 1,

$${\displaystyle \sum _{x}p_{X}(x)=1}$$y $${\displaystyle p_{X}(x)\geq 0.}$$

Pensar en la probabilidad como masa ayuda a evitar errores ya que la masa física se conserva, al igual que la probabilidad total de todos los resultados hipotéticos . ${\displaystyle x}$

Formulación teórica de la medida

Una función de masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta puede considerarse un caso especial de dos construcciones teóricas de medida más generales: la distribución de y la función de densidad de probabilidad de con respecto a la medida de conteo . Lo explicaremos con más precisión a continuación. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Supongamos que es un espacio de probabilidad y que es un espacio medible cuya σ-álgebra subyacente es discreta, por lo que en particular contiene conjuntos singleton de . En este contexto, una variable aleatoria es discreta siempre que su imagen sea contable. La medida de empuje hacia adelante —llamada distribución de en este contexto— es una medida de probabilidad en cuya restricción a conjuntos singleton induce la función de masa de probabilidad (como se mencionó en la sección anterior) ya que para cada . ${\displaystyle (A,{\mathcal {A}},P)}$ ${\displaystyle (B,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X\colon A\to B}$ ${\displaystyle X_{*}(P)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f_{X}\colon B\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f_{X}(b)=P(X^{-1}(b))=P(X=b)}$ ${\displaystyle b\in B}$

Supongamos ahora que es un espacio de medida equipado con la medida de conteo . La función de densidad de probabilidad de con respecto a la medida de conteo, si existe, es la derivada de Radon-Nikodym de la medida de empuje hacia delante de (con respecto a la medida de conteo), por lo que y es una función de a los reales no negativos. Como consecuencia, para cualquier tenemos ${\displaystyle (B,{\mathcal {B}},\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f=dX_{*}P/d\mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b\in B}$ $${\displaystyle P(X=b)=P(X^{-1}(b))=X_{*}(P)(b)=\int _{b}fd\mu =f(b),}$$

demostrando que de hecho es una función de masa de probabilidad. ${\displaystyle f}$

Cuando existe un orden natural entre los resultados potenciales , puede ser conveniente asignarles valores numéricos (o n -tuplas en el caso de una variable aleatoria multivariante discreta ) y considerar también valores que no sean la imagen de . Es decir, pueden definirse para todos los números reales y para todos como se muestra en la figura. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{X}}$ ${\displaystyle f_{X}(x)=0}$ ${\displaystyle x\notin X(S)}$

La imagen de tiene un subconjunto contable en el que la función de masa de probabilidad es uno. En consecuencia, la función de masa de probabilidad es cero para todos los valores de , excepto un número contable . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$ ${\displaystyle x}$

La discontinuidad de las funciones de masa de probabilidad está relacionada con el hecho de que la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta también es discontinua. Si es una variable aleatoria discreta, entonces significa que el evento casual es seguro (es cierto en el 100% de las ocurrencias); por el contrario, significa que el evento casual es siempre imposible. Esta afirmación no es cierta para una variable aleatoria continua , para la cual para cualquier posible . La discretización es el proceso de convertir una variable aleatoria continua en una discreta. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P(X=x)=1}$ ${\displaystyle (X=x)}$ ${\displaystyle P(X=x)=0}$ ${\displaystyle (X=x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P(X=x)=0}$ ${\displaystyle x}$

Ejemplos

Finito

Hay tres distribuciones principales asociadas: la distribución de Bernoulli , la distribución binomial y la distribución geométrica .

• Distribución de Bernoulli: ber(p) , se utiliza para modelar un experimento con solo dos resultados posibles. Los dos resultados a menudo se codifican como 1 y 0. Un ejemplo de la distribución de Bernoulli es lanzar una moneda. Supongamos que es el espacio muestral de todos los resultados de un solo lanzamiento de una moneda justa, y es la variable aleatoria definida al asignar 0 a la categoría "cruz" y 1 a la categoría "cara". Dado que la moneda es justa, la función de masa de probabilidad es $${\displaystyle p_{X}(x)={\begin{cases}p,&{\text{if }}x{\text{ is 1}}\\1-p,&{\text{if }}x{\text{ is 0}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle p_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}},&x=0,\\{\frac {1}{2}},&x=1,\\0,&x\notin \{0,1\}.\end{cases}}}$$
• Distribución binomial, modela el número de aciertos cuando alguien saca n veces con reposición. Cada extracción o experimento es independiente, con dos resultados posibles. La función de masa de probabilidad asociada es . ${\textstyle {\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$

  

  Función de masa de probabilidad de un dado justo . Todos los números del dado tienen la misma probabilidad de aparecer en la parte superior cuando el dado deja de rodar.

  Un ejemplo de distribución binomial es la probabilidad de obtener exactamente un 6 cuando alguien lanza un dado justo tres veces.
• La distribución geométrica describe el número de ensayos necesarios para obtener un éxito. Su función de masa de probabilidad es . ${\textstyle p_{X}(k)=(1-p)^{k-1}p}$
  Un ejemplo es lanzar una moneda hasta que aparezca la primera "cara". denota la probabilidad de que el resultado sea "cara" y denota el número de lanzamientos de moneda necesarios. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$
  Otras distribuciones que pueden modelarse utilizando una función de masa de probabilidad son la distribución categórica (también conocida como distribución de Bernoulli generalizada) y la distribución multinomial .
• Si la distribución discreta tiene dos o más categorías, una de las cuales puede ocurrir, independientemente de que estas categorías tengan o no un orden natural, cuando solo hay un único ensayo (extracción), se trata de una distribución categórica.
• Un ejemplo de distribución discreta multivariante y de su función de masa de probabilidad lo proporciona la distribución multinomial . En este caso, las variables aleatorias múltiples son el número de éxitos en cada una de las categorías después de un número determinado de ensayos, y cada masa de probabilidad distinta de cero da la probabilidad de una determinada combinación de números de éxitos en las distintas categorías.

Infinito

La siguiente distribución exponencialmente decreciente es un ejemplo de una distribución con un número infinito de resultados posibles (todos los números enteros positivos): A pesar del número infinito de resultados posibles, la masa de probabilidad total es 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ = 1, lo que satisface el requisito de probabilidad total unitaria para una distribución de probabilidad. $${\displaystyle {\text{Pr}}(X=i)={\frac {1}{2^{i}}}\qquad {\text{for }}i=1,2,3,\dots }$$

Caso multivariado

Dos o más variables aleatorias discretas tienen una función de masa de probabilidad conjunta, que da la probabilidad de cada posible combinación de realizaciones para las variables aleatorias.

Referencias

1. 7.2 - Funciones de masa de probabilidad | STAT 414 - PennState - Facultad de Ciencias Eberly
2. Stewart, William J. (2011). Probabilidad, cadenas de Markov, colas y simulación: la base matemática del modelado del rendimiento. Princeton University Press. pág. 105. ISBN 978-1-4008-3281-1.
3. Una introducción moderna a la probabilidad y la estadística: comprender por qué y cómo . Dekking, Michel, 1946-. Londres: Springer. 2005. ISBN 978-1-85233-896-1.OCLC 262680588  .{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: otros ( enlace )
4. Rao, Singiresu S. (1996). Optimización de ingeniería: teoría y práctica (3.ª ed.). Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-55034-5.OCLC 62080932  .

Lectura adicional

• Johnson, NL; Kotz, S.; Kemp, A. (1993). Distribuciones discretas univariadas (2.ª ed.). Wiley. pág. 36. ISBN 0-471-54897-9.