martingala

Proceso estocástico

En la teoría matemática de la probabilidad , una martingala Doob (llamada así en honor a Joseph L. Doob , ^[1] también conocida como martingala de Levy ) es un proceso estocástico que aproxima una variable aleatoria dada y tiene la propiedad de martingala con respecto a la filtración dada . Puede considerarse como la secuencia evolutiva de mejores aproximaciones a la variable aleatoria basada en la información acumulada hasta un momento determinado.

Al analizar sumas, paseos aleatorios u otras funciones aditivas de variables aleatorias independientes , a menudo se puede aplicar el teorema del límite central , la ley de los grandes números , la desigualdad de Chernoff , la desigualdad de Chebyshev o herramientas similares. Al analizar objetos similares donde las diferencias no son independientes, las principales herramientas son las martingalas y la desigualdad de Azuma . ^{[ se necesita aclaración ]}

Definición

Sea cualquier variable aleatoria con . Supongamos que es una filtración , es decir, cuando . Definir ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [|Y|]<\infty }$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{0},{\mathcal {F}}_{1},\dots \right\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subset {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle s<t}$

${\displaystyle Z_{t}=\mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {F}}_{t}],}$

entonces es una martingala , ^[2] es decir, Doob martingala , con respecto a la filtración . ${\displaystyle \left\{Z_{0},Z_{1},\dots \right\}}$ ${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{0},{\mathcal {F}}_{1},\dots \right\}}$

Para ver esto, tenga en cuenta que

• ${\displaystyle \mathbb {E} [|Z_{t}|]=\mathbb {E} [|\mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {F}}_{t}]|]\leq \mathbb {E} [\mathbb {E} [|Y|\mid {\mathcal {F}}_{t}]]=\mathbb {E} [|Y|]<\infty }$;
• ${\displaystyle \mathbb {E} [Z_{t}\mid {\mathcal {F}}_{t-1}]=\mathbb {E} [\mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {F}}_{t}]\mid {\mathcal {F}}_{t-1}]=\mathbb {E} [Y\mid {\mathcal {F}}_{t-1}]=Z_{t-1}}$como . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t-1}\subset {\mathcal {F}}_{t}}$

En particular, para cualquier secuencia de variables aleatorias en el espacio de probabilidad y función tal que , se podría elegir ${\displaystyle \left\{X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right\}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\text{P}})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {E} [|f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})|]<\infty }$

${\displaystyle Y:=f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$

y filtración tal que ${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}_{0},{\mathcal {F}}_{1},\dots \right\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}_{0}&:=\left\{\phi ,\Omega \right\},\\{\mathcal {F}}_{t}&:=\sigma (X_{1},X_{2},\dots ,X_{t}),\forall t\geq 1,\end{aligned}}}$

es decir, álgebra generada por . Entonces, por definición de martingala Doob, proceso donde ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{t}}$ ${\displaystyle \left\{Z_{0},Z_{1},\dots \right\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{0}&:=\mathbb {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\mid {\mathcal {F}}_{0}]=\mathbb {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})],\\Z_{t}&:=\mathbb {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\mid {\mathcal {F}}_{t}]=\mathbb {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\mid X_{1},X_{2},\dots ,X_{t}],\forall t\geq 1\end{aligned}}}$

forma una martingala Doob. Tenga en cuenta que . Esta martingala se puede utilizar para demostrar la desigualdad de McDiarmid . ${\displaystyle Z_{n}=f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$

La desigualdad de McDiarmid

La martingala Doob fue introducida por Joseph L. Doob en 1940 para establecer desigualdades de concentración como la desigualdad de McDiarmid, que se aplica a funciones que satisfacen una propiedad de diferencias acotadas (definida a continuación) cuando se evalúan según argumentos de funciones aleatorias independientes.

Una función satisface la propiedad de diferencias acotadas si al sustituir el valor de la coordenada enésima se cambia el valor de como máximo en . Más formalmente, si hay constantes tales que para todos y todos , ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}_{1}\times {\mathcal {X}}_{2}\times \cdots \times {\mathcal {X}}_{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}}$ ${\displaystyle i\in [n]}$ ${\displaystyle x_{1}\in {\mathcal {X}}_{1},\,x_{2}\in {\mathcal {X}}_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\in {\mathcal {X}}_{n}}$

${\displaystyle \sup _{x_{i}'\in {\mathcal {X}}_{i}}\left|f(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{i},x_{i+1},\ldots ,x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{i}',x_{i+1},\ldots ,x_{n})\right|\leq c_{i}.}$

Desigualdad de McDiarmid ^[1]  -  Satisfagamos la propiedad de diferencias acotadas con límites . ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}_{1}\times {\mathcal {X}}_{2}\times \cdots \times {\mathcal {X}}_{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}}$

Considere variables aleatorias independientes donde para todos . Entonces, para cualquier , ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X_{i}\in {\mathcal {X}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle {\text{P}}\left(f(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})-\mathbb {E} [f(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})]\geq \varepsilon \right)\leq \exp \left(-{\frac {2\varepsilon ^{2}}{\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}}}\right),}$

${\displaystyle {\text{P}}(f(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})-\mathbb {E} [f(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})]\leq -\varepsilon )\leq \exp \left(-{\frac {2\varepsilon ^{2}}{\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}}}\right),}$

y como consecuencia inmediata,

${\displaystyle {\text{P}}(|f(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})-\mathbb {E} [f(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})]|\geq \varepsilon )\leq 2\exp \left(-{\frac {2\varepsilon ^{2}}{\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}}}\right).}$

Ver también

• Catálogo de artículos en teoría de la probabilidad.
• Desigualdad de concentración : un resumen de la desigualdad de McDiarmid y varias desigualdades similares.
• Valor esperado y varianza
• Lógica difusa y teoría de la medida difusa
• Glosario de probabilidad y estadística.
• Lista de temas de probabilidad
• Lista de publicaciones en estadística.
• Lista de temas estadísticos
• Notación en probabilidad
• Distribución de probabilidad

Referencias

1. Doob, JL (1940). "Propiedades de regularidad de determinadas familias de variables aleatorias" (PDF) . Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 47 (3): 455–486. doi : 10.2307/1989964 . JSTOR  1989964.
2. Doob, JL (1953). Procesos estocásticos . vol. 101. Nueva York: Wiley. pag. 293.