Enredo (matemáticas)

El nudo de pretzel (−2,3,7) tiene dos giros hacia la derecha en su primer nudo , tres giros hacia la izquierda en el segundo y siete giros hacia la izquierda en el tercero.

En matemáticas , un enredo es generalmente uno de dos conceptos relacionados:

• En la definición de John Conway , un n -enredo es una incrustación adecuada de la unión disjunta de n arcos en una bola de 3 ; la incrustación debe enviar los puntos finales de los arcos a 2 n puntos marcados en el límite de la pelota.
• En la teoría de enlaces , una maraña es una incrustación de n arcos y m círculos en ; la diferencia con la definición anterior es que incluye círculos además de arcos, y divide el límite en dos partes (isomorfas), lo cual es algebraicamente más conveniente. permite agregar enredos apilándolos, por ejemplo. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}\times [0,1]}$

(Un uso bastante diferente de 'enredo' aparece en Graph minors X. Obstructions to tree-decomposition por N. Robertson y PD Seymour, Journal of Combinatorial Theory B 52 (1991) 153-190, quienes lo usaron para describir la separación en gráficos. Este uso se ha extendido a las matroides ).

El resto de este artículo analiza el sentido de los enredos de Conway; Para conocer el sentido de la teoría del enlace, consulte ese artículo .

Dos n -enredos se consideran equivalentes si hay una isotopía ambiental de un enredo con respecto al otro manteniendo fijo el límite de las 3 bolas. La teoría de los enredos puede considerarse análoga a la teoría de los nudos excepto que, en lugar de bucles cerrados, se utilizan cuerdas cuyos extremos están clavados. Véase también teoría de las trenzas .

Diagramas de enredo

Sin pérdida de generalidad, considere que los puntos marcados en el límite de las 3 bolas se encuentran en un círculo máximo. La maraña puede disponerse para que esté en posición general con respecto a la proyección sobre el disco plano delimitado por el gran círculo. La proyección nos proporciona entonces un diagrama de enredos , donde tomamos nota de los cruces superiores e inferiores como en los diagramas de nudos .

Los enredos a menudo aparecen como diagramas de enredos en diagramas de nudos o de vínculos y pueden usarse como bloques de construcción para diagramas de vínculos , por ejemplo, vínculos de pretzel .

Enredos racionales y algebraicos.

Algunas operaciones sobre enredos:

Izquierda: Un enredo a y su reflejo ⁻ a . Arriba a la derecha: suma de enredos, denotada por a + b . Centro derecha: Producto de maraña, denotado por ab , equivalente a ⁻ a + b . Abajo a la derecha: Ramificación, denotada por a , b , equivalente a ⁻ a + ⁻ b

Un enredo racional es un enredo de 2 que es homeomorfo al enredo de 2 trivial mediante un mapa de pares que consta de 3 bolas y dos arcos. Los cuatro puntos finales de los arcos en el círculo límite de un diagrama de enredos generalmente se denominan NE, NW, SW, SE, y los símbolos se refieren a las direcciones de la brújula.

Un diagrama de enredos arbitrario de un enredo racional puede parecer muy complicado, pero siempre hay un diagrama de una forma particular simple: comience con un diagrama de enredos que consta de dos arcos horizontales (verticales); añadir un "giro", es decir, un único cruce cambiando los puntos finales NE y SE (puntos finales SW y SE); Continúe agregando más giros usando los puntos finales NE y SE o los puntos finales SW y SE. Se puede suponer que cada giro no cambia el diagrama dentro de un disco que contiene cruces creados previamente.

Podemos describir dicho diagrama considerando los números dados por giros consecutivos alrededor del mismo conjunto de puntos finales, por ejemplo (2, 1, -3) significa comenzar con dos arcos horizontales, luego 2 giros usando los puntos finales NE/SE, luego 1 giro usando Puntos finales SW/SE, y luego 3 giros usando los puntos finales NE/SE pero girando en la dirección opuesta a la anterior. La lista comienza con 0 si comienza con dos arcos verticales. El diagrama con dos arcos horizontales es entonces (0), pero asignamos (0, 0) al diagrama con arcos verticales. Se necesita una convención para describir un giro "positivo" o "negativo". A menudo, "maraña racional" se refiere a una lista de números que representan un diagrama simple como se describe.

La fracción de un enredo racional se define entonces como el número dado por la fracción continua . La fracción dada por (0,0) se define como . Conway demostró que la fracción está bien definida y determina completamente el enredo racional hasta la equivalencia del enredo. ^[1] Una prueba accesible de este hecho se da en:. ^[2] Conway también definió una fracción de un enredo arbitrario utilizando el polinomio de Alexander . ${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\dots )}$ ${\displaystyle [a_{n},a_{n-1},a_{n-2},\dots ]}$ ${\displaystyle \infty }$

Operaciones sobre ovillos

Existe una "aritmética" de enredos con suma, multiplicación y operaciones recíprocas. Un nudo algebraico se obtiene de la suma y multiplicación de nudos racionales.

El cierre del numerador de una maraña racional se define como el vínculo que se obtiene al unir los extremos "norte" y los extremos "sur" también. El cierre del denominador se define de manera similar agrupando los puntos finales "este" y "oeste". Los vínculos racionales se definen como cierres de enredos racionales.

Notación de Conway

Una motivación para el estudio de los enredos de Conway fue proporcionar una notación para los nudos más sistemática que la enumeración tradicional que se encuentra en las tablas.

Aplicaciones

Se ha demostrado que los enredos son útiles en el estudio de la topología del ADN . La acción de una enzima determinada se puede analizar con la ayuda de la teoría de enredos. ^[3]

Ver también

• rompecabezas de enredos

Referencias

1. Conway, JH (1970). "Una enumeración de nudos y enlaces, y algunas de sus propiedades algebraicas" (PDF) . En Leech, J. (ed.). Problemas computacionales en álgebra abstracta . Oxford, Inglaterra: Pergamon Press. págs. 329–358.
2. Kauffman, Louis H .; Lambropoulou, Sofía (12 de enero de 2004). "Sobre la clasificación de enredos racionales". Avances en Matemática Aplicada . 33 (2): 199–237. arXiv : matemáticas/0311499 . Código Bib : 2003 matemáticas..... 11499K. doi :10.1016/j.aam.2003.06.002. S2CID  119143716.
3. Ernst, C.; Sumners, DW (noviembre de 1990). "Un cálculo para ovillos racionales: aplicaciones a la recombinación del ADN". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 108 (3): 489–515. Código Bib : 1990MPCPS.108..489E. doi :10.1017/s0305004100069383. ISSN  0305-0041.

Otras lecturas

• Adams, CC (2004). The Knot Book: Una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. págs. xiv+307. ISBN 0-8218-3678-1.

enlaces externos

• MacKay, David . "Código Metapost para dibujar enredos y otras imágenes". Grupo de Inferencia . Consultado el 13 de abril de 2018 .
• Goldman, Jay R.; Kauffman, Louis H. (1997). "Enredos racionales" (PDF) . Avances en Matemática Aplicada . 18 (3): 300–332. doi : 10.1006/aama.1996.0511 .