En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de módulos , un módulo indescomponible principal tiene muchas relaciones importantes con el estudio de los módulos de un anillo , especialmente sus módulos simples , módulos proyectivos y módulos indescomponibles .
Un módulo principal indescomponible (izq.) de un anillo R es un submódulo (izq.) de R que es un sumando directo de R y es un módulo indescomponible . Alternativamente, es un módulo indescomponible, proyectivo y cíclico . Los módulos principales indescomponibles también se denominan PIM para abreviar.
Los módulos proyectivos indecomponibles sobre algunos anillos tienen conexiones muy estrechas con los módulos simples, proyectivos e indecomponibles de esos anillos.
Si el anillo R es artiniano o incluso semiperfecto , entonces R es una suma directa de módulos principales indecomponibles, y hay una clase de isomorfismo de PIM por clase de isomorfismo de módulo simple. A cada PIM P se le asocia su cabeza , P / JP , que es un módulo simple, siendo un módulo semisimple indecomponible. A cada módulo simple S se le asocia su cubierta proyectiva P , que es un PIM, siendo un módulo proyectivo, indecomponible y cíclico.
De manera similar, sobre un anillo semiperfecto , cada módulo proyectivo indecomponible es un PIM, y cada módulo proyectivo finitamente generado es una suma directa de PIM.
En el contexto de las álgebras de grupos de grupos finitos sobre cuerpos (que son anillos semiperfectos), el anillo de representación describe los módulos indecomponibles, y los caracteres modulares de los módulos simples representan tanto un subanillo como un anillo de cocientes. El anillo de representación sobre el cuerpo complejo suele entenderse mejor y, dado que los PIM corresponden a módulos sobre los complejos que utilizan un sistema p -modular, se pueden utilizar los PIM para transferir información desde el anillo de representación complejo al anillo de representación sobre un cuerpo de característica positiva. En términos generales, esto se denomina teoría de bloques.
Sobre un dominio de Dedekind que no es un PID , el grupo de clases ideal mide la diferencia entre módulos indecomponibles proyectivos y módulos indecomponibles principales: los módulos indecomponibles proyectivos son exactamente los (módulos isomorfos a) ideales distintos de cero y los módulos indecomponibles principales son precisamente los (módulos isomorfos a) ideales principales distintos de cero.