Tetas métricas

En matemáticas , la métrica de Tits es una métrica definida en el límite ideal de un espacio de Hadamard (también llamado espacio CAT(0) completo ). Recibe su nombre en honor a Jacques Tits .

Límite ideal de un espacio de Hadamard

Sea ( X , d ) un espacio de Hadamard. Dos rayos geodésicos c ₁ , c ₂  : [0, ∞] → X se denominan asintóticos si permanecen dentro de una cierta distancia cuando viajan, es decir

${\displaystyle \sup _{t\geq 0}d(c_{1}(t),c_{2}(t))<\infty .}$

Equivalentemente, la distancia de Hausdorff entre los dos rayos es finita.

La propiedad asintótica define una relación de equivalencia en el conjunto de rayos geodésicos, y el conjunto de clases de equivalencia se llama límite ideal ∂ X de X . Una clase de equivalencia de rayos geodésicos se llama punto límite de X . Para cualquier clase de equivalencia de rayos y cualquier punto p en X , hay un único rayo en la clase que sale de p .

Definición de la métrica Tits

Primero definimos un ángulo entre puntos límite con respecto a un punto p en X . Para dos puntos límite cualesquiera en ∂ X , tomemos los dos rayos geodésicos c ₁ , c ₂ que salen de p correspondientes a los dos puntos límite respectivamente. Uno puede definir un ángulo de los dos rayos en p llamado ángulo de Alexandrov . Intuitivamente, tome el triángulo con vértices p , c ₁ ( t ), c _​​2 ( t ) para un t pequeño , y construya un triángulo en el plano plano con las mismas longitudes de lado que este triángulo. Considere el ángulo en el vértice del triángulo plano correspondiente a p . El límite de este ángulo cuando t tiende a cero se define como el ángulo de Alexandrov de los dos rayos en p . (Por definición de un espacio CAT(0), el ángulo disminuye monótonamente a medida que t disminuye, por lo que el límite existe). Ahora definimos como este ángulo. ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}}$ ${\displaystyle \angle _{p}(\xi _{1},\xi _{2})}$

Para definir la métrica angular en el límite ∂ X que no depende de la elección de p , tomamos el supremo sobre todos los puntos en X

${\displaystyle \angle (\xi _{1},\xi _{2}):=\sup _{p\in X}\angle _{p}(\xi _{1},\xi _{2}).}$

La métrica Tits d _T es la métrica de longitud asociada a la métrica angular, es decir, para dos puntos límite cualesquiera, la distancia Tits entre ellos es el ínfimo de las longitudes de todas las curvas en el límite que los unen medidas en la métrica angular. Si no existe tal curva con longitud finita, la distancia Tits entre los dos puntos se define como infinita.

El límite ideal de X equipado con la métrica Tits se llama límite Tits , denotado como ∂ _T X.

Para un espacio CAT(0) completo, se puede demostrar que su límite ideal con la métrica angular es un espacio CAT(1) completo, y su límite Tits es también un espacio CAT(1) completo. Por lo tanto, para dos puntos de límite cualesquiera tales que , tenemos ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2}}$ ${\displaystyle \angle (\xi _{1},\xi _{2})<\pi }$

${\displaystyle d_{\mathrm {T} }(\xi _{1},\xi _{2})=\angle (\xi _{1},\xi _{2}),}$

y los puntos pueden unirse mediante un único segmento geodésico en el límite. Si el espacio es propio , entonces dos puntos límite cualesquiera separados por una distancia finita pueden unirse mediante un segmento geodésico en el límite.

Ejemplos

• Para un espacio euclidiano E ⁿ , su límite Tits es la esfera unitaria S ^{n - 1} .
• Un espacio de Hadamard X se denomina espacio de visibilidad si dos puntos límite distintos son los puntos finales de una línea geodésica en X. Para un espacio de este tipo, la distancia angular entre dos puntos límite es igual a π, por lo que no existe ninguna curva con longitud finita en el límite ideal que conecte dos puntos límite distintos, lo que significa que la distancia de Tits entre dos de ellos es infinita.

Referencias

• Bridson, Martín R.; Haefliger, André (1999). Espacios métricos de curvatura no positiva . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas] 319. Berlín: Springer-Verlag. págs.xxii+643. ISBN 3-540-64324-9.Señor 1744486  .