Método de disparo

Método para resolver problemas de valores en la frontera

En el análisis numérico , el método de disparo es un método para resolver un problema de valor límite reduciéndolo a un problema de valor inicial . Implica encontrar soluciones al problema de valor inicial para diferentes condiciones iniciales hasta encontrar la solución que también satisface las condiciones de contorno del problema de valor límite. En términos sencillos, uno "dispara" trayectorias en diferentes direcciones desde un límite hasta que encuentra la trayectoria que "golpea" la otra condición de contorno.

Descripción matemática

Supongamos que uno quiere resolver el problema de valor en la frontera. Resolvamos el problema de valor inicial Si , entonces también es una solución del problema de valor en la frontera. $${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y(t_{1})=y_{1}.}$$ ${\displaystyle y(t;a)}$ $${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=a.}$$ ${\displaystyle y(t_{1};a)=y_{1}}$ ${\displaystyle y(t;a)}$

El método de disparo es el proceso de resolver el problema de valor inicial para muchos valores diferentes de hasta encontrar la solución que satisface las condiciones de contorno deseadas. Normalmente, se hace numéricamente . La(s) solución(es) corresponden a la(s) raíz(es) de Para variar sistemáticamente el parámetro de disparo y encontrar la raíz, se pueden emplear algoritmos estándar de búsqueda de raíces como el método de bisección o el método de Newton . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y(t;a)}$ $${\displaystyle F(a)=y(t_{1};a)-y_{1}.}$$ ${\displaystyle a}$

Las raíces de y las soluciones del problema de valor en la frontera son equivalentes. Si es una raíz de , entonces es una solución del problema de valor en la frontera. Por el contrario, si el problema de valor en la frontera tiene una solución , también es la única solución del problema de valor inicial donde , por lo que es una raíz de . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle y(t;a)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle y(t;a)}$ ${\displaystyle a=y'(t_{0})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F}$

Etimología e intuición

El término "método de tiro" tiene su origen en la artillería. Una analogía para el método de tiro es

• Coloque un cañón en la posición , luego ${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}$
• Varía el ángulo del cañón y luego ${\displaystyle a=y'(t_{0})}$
• Dispara el cañón hasta que alcance el valor límite . ${\displaystyle y(t_{1})=y_{1}}$

Entre cada disparo, la dirección del cañón se ajusta en función del disparo anterior, de modo que cada disparo impacta más cerca que el anterior. La trayectoria que "alcanza" el valor límite deseado es la solución al problema del valor límite, de ahí el nombre de "método de disparo".

Método de disparo lineal

El problema del valor en la frontera es lineal si f tiene la forma En este caso, la solución al problema del valor en la frontera suele estar dada por: donde es la solución al problema del valor inicial: y es la solución al problema del valor inicial: Véase la prueba para la condición precisa bajo la cual se cumple este resultado. ^[1] $${\displaystyle f(t,y(t),y'(t))=p(t)y'(t)+q(t)y(t)+r(t).}$$ $${\displaystyle y(t)=y_{(1)}(t)+{\frac {y_{1}-y_{(1)}(t_{1})}{y_{(2)}(t_{1})}}y_{(2)}(t)}$$ ${\displaystyle y_{(1)}(t)}$ $${\displaystyle y_{(1)}''(t)=p(t)y_{(1)}'(t)+q(t)y_{(1)}(t)+r(t),\quad y_{(1)}(t_{0})=y_{0},\quad y_{(1)}'(t_{0})=0,}$$ ${\displaystyle y_{(2)}(t)}$ $${\displaystyle y_{(2)}''(t)=p(t)y_{(2)}'(t)+q(t)y_{(2)}(t),\quad y_{(2)}(t_{0})=0,\quad y_{(2)}'(t_{0})=1.}$$

Ejemplos

Problema de valor límite estándar

Figura 1. Trayectorias w ( t ; s ) para s = w '(0) igual a −7, −8, −10, −36 y −40. El punto (1,1) está marcado con un círculo.

Figura 2. La función F ( s ) = w (1; s ) − 1.

^{Stoer y Bulirsch [2]} proponen a continuación un problema de valor límite (Sección 7.3.1).

$${\displaystyle w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2}(t),\quad w(0)=4,\quad w(1)=1}$$

El problema del valor inicial se resolvió para s = −1, −2, −3, ..., −100 y F ( s ) = w (1; s ) − 1 graficado en la Figura 2. Al inspeccionar el gráfico de F , vemos que hay raíces cerca de −8 y −36. Algunas trayectorias de w ( t ; s ) se muestran en la Figura 1. $${\displaystyle w''(t)={\frac {3}{2}}w^{2}(t),\quad w(0)=4,\quad w'(0)=s}$$

Stoer y Bulirsch ^[2] afirman que hay dos soluciones, que pueden encontrarse mediante métodos algebraicos.

Estas corresponden a las condiciones iniciales w ′(0) = −8 y w ′(0) = −35,9 (aproximadamente).

Problema de valor propio

Al buscar el estado fundamental del oscilador armónico con energía , el método de disparo produce funciones de onda que divergen hasta el infinito. En este caso, la función de onda correcta debería tener raíces cero y tender a cero en el infinito, por lo que se encuentra en algún punto entre las líneas naranja y verde. Por lo tanto, la energía está entre y (con precisión numérica). ${\displaystyle E_{0}=1/2}$ ${\displaystyle 0.495}$ ${\displaystyle 0.500}$

El método de disparo también se puede utilizar para resolver problemas de valores propios. Considere la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para el oscilador armónico cuántico En mecánica cuántica, se buscan funciones de onda normalizables y sus correspondientes energías sujetas a las condiciones de contorno El problema se puede resolver analíticamente para encontrar las energías para , pero también sirve como una excelente ilustración del método de disparo. Para aplicarlo, primero observe algunas propiedades generales de la ecuación de Schrödinger: $${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\psi _{n}''(x)+{\frac {1}{2}}x^{2}\psi _{n}(x)=E_{n}\psi _{n}(x).}$$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x\rightarrow +\infty )=\psi _{n}(x\rightarrow -\infty )=0.}$$ ${\displaystyle E_{n}=n+1/2}$ ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$

• Si es una función propia, también lo es para cualquier constante distinta de cero . ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle C\psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle C}$
• El -ésimo estado excitado tiene raíces donde . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)=0}$
• Para un número par , el -ésimo estado excitado es simétrico y distinto de cero en el origen. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)=\psi _{n}(-x)}$
• Para impar , el -ésimo estado excitado es antisimétrico y, por lo tanto, cero en el origen. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)=-\psi _{n}(-x)}$

Para encontrar el estado excitado -ésimo y su energía , el método de disparo es entonces: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$ ${\displaystyle E_{n}}$

1. Adivina algo de energía . ${\displaystyle E_{n}}$
2. Integrar la ecuación de Schrödinger. Por ejemplo, utilizar la diferencia finita central $${\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {\psi _{n}^{i+1}-2\psi _{n}^{i}+\psi _{n}^{i-1}}{{\Delta x}^{2}}}+{\frac {1}{2}}(x^{i})^{2}\psi _{n}^{i}=E_{n}\psi _{n}^{i}.}$$
   • Si es par, configúrelo en un número arbitrario (por ejemplo , la función de onda se puede normalizar después de la integración de todos modos) y use la propiedad simétrica para encontrar todos los . restantes . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle \psi _{n}^{0}=1}$ ${\displaystyle \psi _{n}^{i}}$
   • Si es impar, establezca y en un número arbitrario (por ejemplo , la función de onda se puede normalizar después de la integración de todos modos) y encuentre todos los . restantes . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \psi _{n}^{0}=0}$ ${\displaystyle \psi _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \psi _{n}^{1}=1}$ ${\displaystyle \psi _{n}^{i}}$
3. Cuente las raíces de y refine la estimación de la energía . ${\displaystyle \psi _{n}}$ ${\displaystyle E_{n}}$
   • Si hay menos raíces, la energía estimada es demasiado baja, así que auméntala y repite el proceso. ${\displaystyle n}$
   • Si hay más de una raíz, la energía estimada es demasiado alta, así que disminúyala y repita el proceso. ${\displaystyle n}$

La estimación de la energía se puede realizar con el método de bisección y el proceso se puede dar por finalizado cuando la diferencia de energía es suficientemente pequeña. Entonces se puede considerar que cualquier energía en el intervalo es la energía correcta.

Véase también

• Método de disparo múltiple directo
• Cálculo de la atenuación de las ondas de radio en la atmósfera

Notas

1. Mathews, John H.; Fink, Kurtis K. (2004). "9.8 Problemas de valores en la frontera". Métodos numéricos con MATLAB (PDF) (4.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Pearson. ISBN 0-13-065248-2. Archivado desde el original (PDF) el 9 de diciembre de 2006.
2. Stoer, J. y Bulirsch, R. Introducción al análisis numérico . Nueva York: Springer-Verlag, 1980.

Referencias

• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 18.1. El método de disparo". Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

Enlaces externos

• Breve descripción de ODEPACK (en Netlib ; contiene LSODE)
• Método de disparo para resolver problemas de valores en la frontera – Notas, PPT, Maple, Mathcad, Matlab, Mathematica en el Instituto de Métodos Numéricos Holísticos [1]