Método de Galerkin discontinuo

En matemáticas aplicadas, los métodos discontinuos de Galerkin (métodos DG) forman una clase de métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales . Combinan características del elemento finito y el marco del volumen finito y se han aplicado con éxito a problemas de formas hiperbólicas , elípticas , parabólicas y mixtas que surgen de una amplia gama de aplicaciones. Los métodos DG han despertado un interés considerable en particular para problemas con una pieza dominante de primer orden, por ejemplo, en electrodinámica , mecánica de fluidos y física del plasma . De hecho, las soluciones de tales problemas pueden implicar fuertes gradientes (e incluso discontinuidades), de modo que los métodos clásicos de elementos finitos fallan, mientras que los métodos de volúmenes finitos se limitan a aproximaciones de bajo orden.

Los métodos discontinuos de Galerkin se propusieron y analizaron por primera vez a principios de la década de 1970 como una técnica para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales parciales. En 1973, Reed y Hill introdujeron un método DG para resolver la ecuación hiperbólica de transporte de neutrones.

El origen del método DG para problemas elípticos no se remonta a una sola publicación, ya que características como la penalización de salto en el sentido moderno se desarrollaron gradualmente. Sin embargo, entre los primeros contribuyentes influyentes se encontraban Babuška , J.-L. Leones , Joachim Nitsche y Miloš Zlámal. Los métodos DG para problemas elípticos ya se desarrollaron en un artículo de Garth Baker en el marco de ecuaciones de cuarto orden en 1977. En una publicación de Arnold, Brezzi se ofrece una descripción más completa del desarrollo histórico y una introducción a los métodos DG para problemas elípticos. , Cockburn y Marini. En el volumen de actas editado por Cockburn, Karniadakis y Shu se recogen una serie de direcciones de investigación y desafíos sobre los métodos de GD.

Descripción general

Al igual que el método de Galerkin continuo (CG) , el método de Galerkin discontinuo (DG) es un método de elementos finitos formulado en relación con una formulación débil de un sistema modelo particular. A diferencia de los métodos CG tradicionales que son conformes , el método DG funciona en un espacio de prueba de funciones que son continuas solo por partes y, por lo tanto, a menudo comprenden espacios funcionales más inclusivos que los subespacios de productos internos de dimensión finita utilizados en los métodos conformes.

Como ejemplo, considere la ecuación de continuidad para un escalar desconocido en un dominio espacial sin "fuentes" ni "sumideros": ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0,}$

¿Dónde está el flujo de ? ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \rho }$

Ahora considere el espacio de dimensión finita de funciones polinómicas discontinuas por partes sobre el dominio espacial restringido a una triangulación discreta , escrito como ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega _{h}}$

${\displaystyle S_{h}^{p}(\Omega _{h})=\{v_{|\Omega _{e_{i}}}\in P^{p}(\Omega _{e_{i}}),\ \ \forall \Omega _{e_{i}}\in \Omega _{h}\}}$

para el espacio de polinomios con grados menores o iguales que el elemento indexado por . Entonces, para funciones de forma de elementos finitos, la solución está representada por ${\displaystyle P^{p}(\Omega _{e_{i}})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Omega _{e_{i}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N_{j}\in P^{p}}$

${\displaystyle \rho _{h}^{i}=\sum _{j=1}^{\text{dofs}}\rho _{j}^{i}(t)N_{j}^{i}({\boldsymbol {x}}),\quad \forall {\boldsymbol {x}}\in \Omega _{e_{i}}.}$

Luego, de manera similar, elige una función de prueba.

${\displaystyle \varphi _{h}^{i}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{\text{dofs}}\varphi _{j}^{i}N_{j}^{i}({\boldsymbol {x}}),\quad \forall {\boldsymbol {x}}\in \Omega _{e_{i}},}$

multiplicando la ecuación de continuidad por e integrando por partes en el espacio , la formulación DG semidiscreta se convierte en: ${\displaystyle \varphi _{h}^{i}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega _{e_{i}}}\rho _{h}^{i}\varphi _{h}^{i}\,d{\boldsymbol {x}}+\int _{\partial \Omega _{e_{i}}}\varphi _{h}^{i}\mathbf {J} _{h}\cdot {\boldsymbol {n}}\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{\Omega _{e_{i}}}\mathbf {J} _{h}\cdot \nabla \varphi _{h}^{i}\,d{\boldsymbol {x}}.}$

Ley de conservación hiperbólica escalar

Una ley de conservación hiperbólica escalar es de la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u+\partial _{x}f(u)&=0\quad {\text{for}}\quad t>0,\,x\in \mathbb {R} \\u(0,x)&=u_{0}(x)\,,\end{aligned}}}$

donde se intenta resolver la función escalar desconocida y las funciones normalmente se dan. ${\displaystyle u\equiv u(t,x)}$ ${\displaystyle f,u_{0}}$

Discretización espacial

El espacio será discretizado como ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathbb {R} =\bigcup _{k}I_{k}\,,\quad I_{k}:=\left(x_{k},x_{k+1}\right)\quad {\text{for}}\quad x_{k}<x_{k+1}\,.}$

Además, necesitamos las siguientes definiciones.

${\displaystyle h_{k}:=|I_{k}|\,,\quad h:=\sup _{k}h_{k}\,,\quad {\hat {x}}_{k}:=x_{k}+{\frac {h_{k}}{2}}\,.}$

Base para el espacio funcional

Derivamos la representación base para el espacio funcional de nuestra solución . El espacio funcional se define como ${\displaystyle u}$

${\displaystyle S_{h}^{p}:=\left\lbrace v\in L^{2}(\mathbb {R} ):v{\Big |}_{I_{k}}\in \Pi _{p}\right\rbrace \quad {\text{for}}\quad p\in \mathbb {N} _{0}\,,}$

donde denota la restricción de sobre el intervalo y denota el espacio de polinomios de grado máximo . El índice debe mostrar la relación con una discretización subyacente dada por . Tenga en cuenta aquí que no está definido de forma única en los puntos de intersección . ${\displaystyle {v|}_{I_{k}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle I_{k}}$ ${\displaystyle \Pi _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \left(x_{k}\right)_{k}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle (x_{k})_{k}}$

Al principio hacemos uso de una base polinómica específica en el intervalo , los polinomios de Legendre , es decir, ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle (P_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$

${\displaystyle P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x\,,\quad P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1)\,,\quad \dots }$

Tenga en cuenta especialmente las relaciones de ortogonalidad.

${\displaystyle \left\langle P_{i},P_{j}\right\rangle _{L^{2}([-1,1])}={\frac {2}{2i+1}}\delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\,.}$

La transformación al intervalo y la normalización se logra mediante funciones. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (\varphi _{i})_{i}}$

${\displaystyle \varphi _{i}(x):={\sqrt {2i+1}}P_{i}(2x-1)\quad {\text{for}}\quad x\in [0,1]\,,}$

que cumplen la relación de ortonormalidad

${\displaystyle \left\langle \varphi _{i},\varphi _{j}\right\rangle _{L^{2}([0,1])}=\delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\,.}$

La transformación en un intervalo viene dada por ${\displaystyle I_{k}}$ ${\displaystyle \left({\bar {\varphi }}_{ki}\right)_{i}}$

${\displaystyle {\bar {\varphi }}_{ki}:={\frac {1}{\sqrt {h_{k}}}}\varphi _{i}\left({\frac {x-x_{k}}{h_{k}}}\right)\quad {\text{for}}\quad x\in I_{k}\,,}$

que cumplen

${\displaystyle \left\langle {\bar {\varphi }}_{ki},{\bar {\varphi }}_{kj}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=\delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\forall \,k\,.}$

Para la normalización definimos y para la normalización definimos st ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle \varphi _{ki}:={\sqrt {h_{k}}}{\bar {\varphi }}_{ki}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}_{ki}:={\frac {1}{\sqrt {h_{k}}}}{\bar {\varphi }}_{ki}}$

${\displaystyle \|\varphi _{ki}\|_{L^{\infty }(I_{k})}=\|\varphi _{i}\|_{L^{\infty }([0,1])}=:c_{i,\infty }\quad {\text{and}}\quad \|{\tilde {\varphi }}_{ki}\|_{L^{1}(I_{k})}=\|\varphi _{i}\|_{L^{1}([0,1])}=:c_{i,1}\,.}$

Finalmente, podemos definir la representación base de nuestras soluciones. ${\displaystyle u_{h}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{h}(t,x):=&\sum _{i=0}^{p}u_{ki}(t)\varphi _{ki}(x)\quad {\text{for}}\quad x\in (x_{k},x_{k+1})\\u_{ki}(t)=&\left\langle u_{h}(t,\cdot ),{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}\,.\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que eso no está definido en las posiciones de la interfaz. ${\displaystyle u_{h}}$

Además, las bases de prisma se emplean para estructuras de tipo plano y son capaces de realizar hibridación 2-D/3-D.

esquema de DG

La ley de conservación se transforma en su forma débil multiplicando con funciones de prueba e integrando en intervalos de prueba.

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u+\partial _{x}f(u)&=0\\\Rightarrow \quad \left\langle \partial _{t}u,v\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}+\left\langle \partial _{x}f(u),v\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}&=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,v\in S_{h}^{p}\\\Leftrightarrow \quad \left\langle \partial _{t}u,{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}+\left\langle \partial _{x}f(u),{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}&=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{aligned}}}$

Al utilizar la integración parcial uno queda con

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}u_{ki}(t)+f(u(t,x_{k+1})){\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k+1})-f(u(t,x_{k})){\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k})-\left\langle f(u(t,\,\cdot \,)),{\tilde {\varphi }}_{ki}'\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{aligned}}}$

Los flujos en las interfaces se aproximan mediante flujos numéricos con ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g_{k}:=g(u_{k}^{-},u_{k}^{+})\,,\quad u_{k}^{\pm }:=u(t,x_{k}^{\pm })\,,}$

donde denota los límites de los lados izquierdo y derecho. Finalmente, el esquema DG se puede escribir como ${\displaystyle u_{k}^{\pm }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}u_{ki}(t)+g_{k+1}{\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k+1})-g_{k}{\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k})-\left\langle f(u(t,\,\cdot \,)),{\tilde {\varphi }}_{ki}'\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{aligned}}}$

Ecuación elíptica escalar

Una ecuación elíptica escalar tiene la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}-\partial _{xx}u&=f(x)\quad {\text{for}}\quad x\in (a,b)\\u(x)&=g(x)\,\quad {\text{for}}\,\quad x=a,b\end{aligned}}}$

Esta ecuación es la ecuación del calor en estado estacionario, donde está la temperatura. La discretización espacial es la misma que la anterior. Recordemos que el intervalo se divide en intervalos de longitud . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle h}$

Introducimos salto y promedio de funciones en el nodo : ${\displaystyle [{}\cdot {}]}$ ${\displaystyle \{{}\cdot {}\}}$ ${\displaystyle x_{k}}$

${\displaystyle [v]{\Big |}_{x_{k}}=v(x_{k}^{+})-v(x_{k}^{-}),\quad \{v\}{\Big |}_{x_{k}}=0.5(v(x_{k}^{+})+v(x_{k}^{-}))}$

El método de Galerkin discontinuo de penalización interior (IPDG) es: encontrar satisfacción ${\displaystyle u_{h}}$

${\displaystyle A(u_{h},v_{h})+A_{\partial }(u_{h},v_{h})=\ell (v_{h})+\ell _{\partial }(v_{h})}$

donde las formas bilineales y son ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{\partial }}$

${\displaystyle A(u_{h},v_{h})=\sum _{k=1}^{N+1}\int _{x_{k-1}}^{x_{k}}\partial _{x}u_{h}\partial _{x}v_{h}-\sum _{k=1}^{N}\{\partial _{x}u_{h}\}_{x_{k}}[v_{h}]_{x_{k}}+\varepsilon \sum _{k=1}^{N}\{\partial _{x}v_{h}\}_{x_{k}}[u_{h}]_{x_{k}}+{\frac {\sigma }{h}}\sum _{k=1}^{N}[u_{h}]_{x_{k}}[v_{h}]_{x_{k}}}$

y

${\displaystyle A_{\partial }(u_{h},v_{h})=\partial _{x}u_{h}(a)v_{h}(a)-\partial _{x}u_{h}(b)v_{h}(b)-\varepsilon \partial _{x}v_{h}(a)u_{h}(a)+\varepsilon \partial _{x}v_{h}(b)u_{h}(b)+{\frac {\sigma }{h}}{\big (}u_{h}(a)v_{h}(a)+u_{h}(b)v_{h}(b){\big )}}$

Las formas lineales y son ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell _{\partial }}$

${\displaystyle \ell (v_{h})=\int _{a}^{b}fv_{h}}$

y

${\displaystyle \ell _{\partial }(v_{h})=-\varepsilon \partial _{x}v_{h}(a)g(a)+\varepsilon \partial _{x}v_{h}(b)g(b)+{\frac {\sigma }{h}}{\big (}g(a)v_{h}(a)+g(b)v_{h}(b){\big )}}$

El parámetro de penalización es una constante positiva. Aumentar su valor reducirá los saltos en la solución discontinua. El término se elige para que sea igual a para el método de Galerkin de penalización interior simétrica; es igual a para el método de Galerkin de penalización interior no simétrica. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle +1}$

Método de Galerkin discontinuo directo

El método Galerkin discontinuo directo (DDG) es un nuevo método Galerkin discontinuo para resolver problemas de difusión. En 2009, Liu y Yan propusieron por primera vez el método DDG para resolver ecuaciones de difusión. ^{[1] [2]} Las ventajas de este método en comparación con el método de Galerkin discontinuo es que el método de Galerkin discontinuo directo deriva el formato numérico tomando directamente el flujo numérico de la función y el término de la primera derivada sin introducir variables intermedias. Aún podemos obtener resultados numéricos razonables utilizando este método, y el proceso de derivación es más simple y la cantidad de cálculo se reduce considerablemente.

El método directo de elementos finitos discontinuos es una rama de los métodos discontinuos de Galerkin. Incluye principalmente transformar el problema en forma variacional, división de unidades regionales, construcción de funciones básicas, formación y resolución de ecuaciones de elementos finitos discontinuos y análisis de convergencia y error.

Por ejemplo, considere una ecuación de difusión no lineal, que es unidimensional:

${\displaystyle U_{t}-{(a(U)\cdot U_{x})}_{x}=0\ \ in\ (0,1)\times (0,T)}$, en el cual ${\displaystyle U(x,0)=U_{0}(x)\ \ on\ (0,1)}$

Discretización espacial

En primer lugar, defina y . Por tanto hemos realizado la discretización espacial de . Además, defina . ${\displaystyle \left\{I_{j}=\left(x_{j-{\frac {1}{2}}},\ x_{j+{\frac {1}{2}}}\right),j=1...N\right\}}$ ${\displaystyle \Delta x_{j}=x_{j+{\frac {1}{2}}}-x_{j-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Delta x=\max _{1\leq j<N}\ \Delta x_{j}}$

Queremos encontrar una aproximación tal que , , ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \forall t\in \left[0,T\right]}$ ${\displaystyle u\in \mathbb {V} _{\Delta x}}$

${\displaystyle \mathbb {V} _{\Delta x}:=\left\{v\in L^{2}\left(0,1\right):{v|}_{I_{j}}\in P^{k}\left(I_{j}\right),\ j=1,...,N\right\}}$, es el espacio de polinomios con grado como máximo . ${\displaystyle P^{k}\left(I_{j}\right)}$ ${\displaystyle I_{j}}$ ${\displaystyle k}$

Formulación del esquema.

Flujo: . ${\displaystyle h:=h\left(U,U_{x}\right)=a\left(U\right)U_{x}}$

${\displaystyle U}$: la solución exacta de la ecuación.

Multiplica la ecuación con una función suave para que obtengamos las siguientes ecuaciones: ${\displaystyle v\in H^{1}\left(0,1\right)}$

${\displaystyle \int _{I_{j}}U_{t}vdx-h_{j+{\frac {1}{2}}}v_{j+{\frac {1}{2}}}+h_{j-{\frac {1}{2}}}v_{j-{\frac {1}{2}}}+\int a\left(U\right)U_{x}v_{x}dx=0}$,

${\displaystyle \int _{I_{j}}U\left(x,0\right)v\left(x\right)dx=\int _{I_{j}}U_{0}\left(x\right)v\left(x\right)dx}$

Aquí es arbitrario, la solución exacta de la ecuación se reemplaza por la solución aproximada , es decir, la solución numérica que necesitamos se obtiene resolviendo las ecuaciones diferenciales. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$

El flujo numérico

Elegir un flujo numérico adecuado es fundamental para la precisión del método DDG.

El flujo numérico debe satisfacer las siguientes condiciones:

♦ Es consistente con ${\displaystyle h={b\left(u\right)}_{x}=a\left(u\right)u_{x}}$

♦ El flujo numérico es conservador en el valor único de . ${\displaystyle x_{j+{\frac {1}{2}}}}$

♦ Tiene la -estabilidad; ${\displaystyle L^{2}}$

♦ Puede mejorar la precisión del método.

Por tanto, se da un esquema general para el flujo numérico:

${\displaystyle {\widehat {h}}=D_{x}b(u)=\beta _{0}{\frac {\left[b\left(u\right)\right]}{\Delta x}}+{\overline {{b\left(u\right)}_{x}}}+\sum _{m=1}^{\frac {k}{2}}\beta _{m}{\left(\Delta x\right)}^{2m-1}\left[\partial _{x}^{2m}b\left(u\right)\right]}$

En este flujo, es el orden máximo de polinomios en dos unidades informáticas vecinas. es el salto de una función. Tenga en cuenta que en cuadrículas no uniformes, debe ser así como en cuadrículas uniformes. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \left[\cdot \right]}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \left({\frac {\Delta x_{j}+\Delta x_{j+1}}{2}}\right)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{N}}}$

Estimaciones de error

Denota que el error entre la solución exacta y la solución numérica es . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle e=u-U}$

Medimos el error con la siguiente norma:

${\displaystyle \left|\left|\left|v(\cdot ,t)\right|\right|\right|={\left(\int _{0}^{1}v^{2}dx+\left(1-\gamma \right)\int _{0}^{t}\sum _{j=1}^{N}\int _{I_{j}}v_{x}^{2}dxd\tau +\alpha \int _{0}^{t}\sum _{j=1}^{N}{\left[v\right]}^{2}/\Delta x\cdot d\tau \right)}^{0.5}}$

y tenemos , ${\displaystyle \left|\left|\left|U(\cdot ,T)\right|\right|\right|\leq \left|\left|\left|U(\cdot ,0)\right|\right|\right|}$ ${\displaystyle \left|\left|\left|u(\cdot ,T)\right|\right|\right|\leq \left|\left|\left|U(\cdot ,0)\right|\right|\right|}$

Ver también

• método galerkin

Referencias

1. Hailiang Liu, Jue Yan, Los métodos directos discontinuos de Galerkin (DDG) para problemas de difusión , SIAM J. NUMER. ANAL. vol. 47, núm. 1, págs. 675–698.
2. Hailiang Liu, Jue Yan, El método Galerkin directo discontinuo (DDG) para difusión con correcciones de interfaz , Commun. Computadora. Física. vol. 8, núm. 3, págs. 541-564.

• DN Arnold, F. Brezzi, B. Cockburn y LD Marini, Análisis unificado de métodos de Galerkin discontinuos para problemas elípticos , SIAM J. Numer. Anal. 39(5):1749–1779, 2002.
• G. Baker, Métodos de elementos finitos para ecuaciones elípticas que utilizan elementos no conformes , Math. comp. 31 (1977), núm. 137, 45–59.
• A. Cangiani, Z. Dong, EH Georgoulis y P. Houston, Métodos Galerkin discontinuos de la versión hp en mallas poligonales y poliédricas , SpringerBriefs in Mathematics, (diciembre de 2017).
• W. Mai, J. Hu, P. Li y H. Zhao, “Un análisis de dominio de tiempo de Galerkin discontinuo híbrido 2-D/3-D eficiente y estable con criterio adaptativo para antipads de forma arbitraria en un par de placas paralelas dispersivas, ” IEEE Trans. Microondas. Teoría Técnica. , vol. 65, núm. 10, págs. 3671–3681, octubre de 2017.
• W. Mai y col. , “Un criterio de actualización sencillo para el método de dominio del tiempo Galerkin discontinuo híbrido 2-D/3-D que controla el error comparativo”, IEEE Trans. Microondas. Teoría Técnica. , vol. 66, núm. 4, págs. 1713-1722, abril de 2018.
• B. Cockburn, GE Karniadakis y C.-W. Shu (eds.), Métodos discontinuos de Galerkin. Teoría, computación y aplicaciones , Lecture Notes in Computational Science and Engineering, 11. Springer-Verlag, Berlín, 2000.
• P. Lesaint y PA Raviart. "Sobre un método de elementos finitos para resolver la ecuación de transporte de neutrones". Aspectos matemáticos de elementos finitos en ecuaciones diferenciales parciales 33 (1974): 89–123.
• DA Di Pietro y A. Ern, Aspectos matemáticos de los métodos discontinuos de Galerkin. Matemáticas y aplicaciones, vol. 69, Springer-Verlag, Berlín, 2011.
• JS Hesthaven y T. Warburton, Métodos nodales discontinuos de Galerkin: algoritmos, análisis y aplicaciones. Textos de Springer en Matemáticas Aplicadas 54. Springer Verlag, Nueva York, 2008.
• B. Rivière, Métodos de Galerkin discontinuos para resolver ecuaciones elípticas y parabólicas: teoría e implementación. Fronteras SIAM en Matemática Aplicada, 2008.
• Wiki de CFD http://www.cfd-online.com/Wiki/Discontinuous_Galerkin
• WH Reed y TR Hill, Métodos de malla triangular para la ecuación de transporte de neutrones , Tech. Informe LA-UR-73–479, Laboratorio Científico de Los Alamos, 1973.