Árbol trinomial

Modelo utilizado en matemáticas financieras

El árbol trinomial es un modelo computacional basado en retículas que se utiliza en matemáticas financieras para fijar el precio de las opciones . Fue desarrollado por Phelim Boyle en 1986. Es una extensión del modelo binomial de fijación de precios de opciones y es conceptualmente similar. También se puede demostrar que el enfoque es equivalente al método explícito de diferencias finitas para la fijación de precios de opciones . ^[1] Para los derivados de renta fija y de tipos de interés, véase Modelo en retícula (finanzas)#Derivados de tipos de interés .

Fórmula

Con el método trinomial, el precio de las acciones subyacentes se modela como un árbol recombinatorio, donde, en cada nodo, el precio tiene tres posibles caminos: un camino ascendente, uno descendente y uno estable o intermedio. ^[2] Estos valores se obtienen multiplicando el valor en el nodo actual por el factor apropiado , o donde ${\displaystyle u\,}$ ${\displaystyle d\,}$ ${\displaystyle m\,}$

${\displaystyle u=e^{\sigma {\sqrt {2\Delta t}}}}$

${\displaystyle d=e^{-\sigma {\sqrt {2\Delta t}}}={\frac {1}{u}}\,}$(la estructura se esta recombinando)

${\displaystyle m=1\,}$

y las probabilidades correspondientes son:

${\displaystyle p_{u}=\left({\frac {e^{(r-q)\Delta t/2}-e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}}{e^{\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}-e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}}}\right)^{2}\,}$

${\displaystyle p_{d}=\left({\frac {e^{\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}-e^{(r-q)\Delta t/2}}{e^{\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}-e^{-\sigma {\sqrt {\Delta t/2}}}}}\right)^{2}\,}$

${\displaystyle p_{m}=1-(p_{u}+p_{d})\,}$.

En las fórmulas anteriores: es la duración de cada paso en el árbol y es simplemente el tiempo hasta el vencimiento dividido por el número de pasos de tiempo; es la tasa de interés libre de riesgo durante este vencimiento; es la volatilidad correspondiente del subyacente ; es su rendimiento de dividendos correspondiente . ^[3] ${\displaystyle \Delta t\,}$ ${\displaystyle r\,}$ ${\displaystyle \sigma \,}$ ${\displaystyle q\,}$

Al igual que con el modelo binomial, estos factores y probabilidades se especifican de modo de garantizar que el precio del subyacente evolucione como una martingala , mientras que los momentos ( considerando el espaciamiento de nodos y las probabilidades) se corresponden con los de la distribución log-normal ^[4] (y con una precisión creciente para pasos de tiempo más pequeños). Nótese que para que , , y estén en el intervalo, se debe cumplir la siguiente condición en . ${\displaystyle p_{u}}$ ${\displaystyle p_{d}}$ ${\displaystyle p_{m}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta t<2{\frac {\sigma ^{2}}{(r-q)^{2}}}}$

Una vez calculado el árbol de precios, el precio de la opción se determina en cada nodo de la misma manera que en el modelo binomial , trabajando hacia atrás desde los nodos finales hasta el nodo actual ( ). La diferencia es que el valor de la opción en cada nodo no final se determina en función de los tres nodos posteriores (en lugar de dos  ) y sus probabilidades correspondientes. ^[5] ${\displaystyle t_{0}}$

Si la longitud de los pasos de tiempo se toma como una variable aleatoria distribuida exponencialmente y se interpreta como el tiempo de espera entre dos movimientos del precio de las acciones, entonces el proceso estocástico resultante es un proceso de nacimiento-muerte . El modelo resultante es soluble y existen fórmulas analíticas de fijación de precios y cobertura para varias opciones. ${\displaystyle \Delta t}$

Solicitud

Se considera ^[6] que el modelo trinomial produce resultados más precisos que el modelo binomial cuando se modelan menos pasos de tiempo y, por lo tanto, se utiliza cuando la velocidad computacional o los recursos pueden ser un problema. Para las opciones tradicionales , a medida que aumenta el número de pasos, los resultados convergen rápidamente y, en ese caso, se prefiere el modelo binomial debido a su implementación más simple. Para las opciones exóticas, el modelo trinomial (o sus adaptaciones) a veces es más estable y preciso, independientemente del tamaño del paso.

Véase también

• Modelo de valoración de opciones binomiales
• Valoración de opciones
• Opción: Implementación del modelo
• Modelo de Korn-Kreer-Lenssen
• Árbol trinomial implícito

Referencias

1. Mark Rubinstein
2. Árbol trinominal, movimiento browniano geométrico Archivado el 21 de julio de 2011 en Wayback Machine.
3. John Hull presenta fórmulas alternativas; véase: Hull, John C. (2002). Opciones, futuros y otros derivados (5.ª ed.). Prentice Hall . ISBN 978-0-13-009056-0..
4. Opciones de precios mediante árboles trinomiales
5. Árboles binomiales y trinomiales frente a aproximaciones de Bjerksund y Stensland para la fijación de precios de opciones estadounidenses
6. Calculadoras de probabilidad y precios de opciones en línea

Enlaces externos

• Phelim Boyle , 1986. "Valoración de opciones utilizando un proceso de tres saltos", International Options Journal 3, 7–12.
• Rubinstein, M. (2000). "Sobre la relación entre los modelos binomiales y trinomiales de fijación de precios de opciones". Journal of Derivatives . 8 (2): 47–50. CiteSeerX  10.1.1.43.5394 . doi :10.3905/jod.2000.319149. Archivado desde el original el 22 de junio de 2007.
• Paul Clifford et al. 2010. Fijación de precios de opciones mediante árboles trinomiales, Universidad de Warwick
• Tero Haahtela, 2010. "Recombinación del árbol trinomial para la valoración de opciones reales con volatilidad cambiante", Universidad Aalto , Serie de documentos de trabajo.
• Ralf Korn, Markus Kreer y Mark Lenssen, 1998. "Fijación de precios de opciones europeas cuando el precio de las acciones subyacentes sigue un proceso lineal de nacimiento-muerte", Stochastic Models Vol. 14(3), pp 647 – 662
• Peter Hoadley. Calculadora de opciones de árbol trinomial (árbol visualizado)