Manera de determinar una órbita preliminar a partir de observaciones iniciales en astronomía.
En mecánica orbital (un subcampo de la mecánica celeste ), el método de Gauss se utiliza para la determinación preliminar de la órbita a partir de al menos tres observaciones (más observaciones aumentan la precisión de la órbita determinada) del cuerpo de interés en órbita en tres momentos diferentes. La información requerida son los tiempos de las observaciones, los vectores de posición de los puntos de observación (en el Sistema de Coordenadas Ecuatoriales ), el vector coseno director del cuerpo en órbita desde los puntos de observación (del Sistema de Coordenadas Ecuatoriales Topocéntricos) y datos físicos generales.
Carl Friedrich Gauss desarrolló importantes técnicas matemáticas (resumidas en los métodos de Gauss) que se utilizaron específicamente para determinar la órbita de Ceres . El método que se muestra a continuación es la determinación de la órbita de un cuerpo en órbita alrededor del cuerpo focal desde donde se tomaron las observaciones, mientras que el método para determinar la órbita de Ceres requiere un poco más de esfuerzo porque las observaciones se tomaron desde la Tierra mientras Ceres orbita alrededor del Sol .
Vector de coseno de dirección del cuerpo en órbita
El vector coseno de dirección del cuerpo en órbita se puede determinar a partir de la ascensión recta y la declinación (del sistema de coordenadas ecuatoriales topocéntricas) del cuerpo en órbita desde los puntos de observación mediante:
es el vector unitario respectivo en la dirección del vector de posición (desde el punto de observación hasta el cuerpo en órbita en el sistema de coordenadas ecuatoriales topocéntricos)
es la declinación respectiva
es la respectiva ascensión recta
Algoritmo
La derivación inicial comienza con la suma de vectores para determinar el vector de posición del cuerpo en órbita. Luego, basándose en la conservación del momento angular y los principios de la órbita kepleriana (que establece que una órbita se encuentra en un plano bidimensional en un espacio tridimensional), se establece una combinación lineal de dichos vectores de posición. Además, se utiliza la relación entre la posición de un cuerpo y el vector velocidad mediante coeficientes de Lagrange lo que da como resultado el uso de dichos coeficientes. Luego, con manipulación de vectores y álgebra, se derivaron las siguientes ecuaciones. Para una derivación detallada, consulte Curtis. [1]
NOTA: El método de Gauss es una determinación preliminar de la órbita, con énfasis en lo preliminar. La aproximación de los coeficientes de Lagrange y las limitaciones de las condiciones de observación requeridas (es decir, curvatura insignificante en el arco entre observaciones, consulte Gronchi [2] para más detalles) causan imprecisiones. Sin embargo, el método de Gauss se puede mejorar aumentando la precisión de los subcomponentes, como resolviendo la ecuación de Kepler . Otra forma de aumentar la precisión es mediante más observaciones.
Paso 1
Calcula intervalos de tiempo, resta los tiempos entre observaciones:
es el intervalo de tiempo
es el tiempo de observación respectivo
Paso 2
Calcule los productos cruzados, tome los productos cruzados de la dirección de la unidad de observación (el orden importa):
Calcule la cantidad escalar común (triple producto escalar), tome el producto escalar del primer vector unitario de observación con el producto cruzado del segundo y tercer vector unitario de observación:
Encuentre la raíz del polinomio de distancia escalar para la segunda observación del cuerpo en órbita:
es la distancia escalar para la segunda observación del cuerpo en órbita (él y su vector, r 2 , están en el sistema de coordenadas ecuatoriales)
son coeficientes como se indicó anteriormente
Se pueden utilizar varios métodos para encontrar la raíz, un método sugerido es el método de Newton-Raphson . La raíz debe ser físicamente posible (es decir, no negativa ni compleja) y si varias raíces son adecuadas, cada una debe evaluarse y compararse con los datos disponibles para confirmar su validez.
Paso 9
Calcule el rango inclinado , la distancia desde el punto del observador hasta el cuerpo en órbita en su momento respectivo:
es el rango de inclinación respectivo (él y su vector, están en el sistema de coordenadas ecuatoriales topocéntricos)
es la cantidad escalar común
son las respectivas cantidades escalares
es el intervalo de tiempo.
es la distancia escalar para la segunda observación del cuerpo en órbita
Calcule los vectores de posición del cuerpo en órbita sumando el vector de posición del observador al vector de dirección inclinada (que es la distancia inclinada multiplicada por el vector de dirección inclinada):
, y son los coeficientes de Lagrange (estos son solo los dos primeros términos de la expresión en serie basada en el supuesto de un intervalo de tiempo pequeño )
es el respectivo vector de posición del cuerpo en órbita
Paso 13
Ahora se han encontrado los vectores de estado orbital , los vectores de posición ( r 2 ) y velocidad ( v 2 ) para la segunda observación del cuerpo en órbita. Con estos dos vectores se pueden encontrar los elementos orbitales y determinar la órbita.
^ Gronchi, Giovanni F.. "Determinación de órbitas clásica y moderna para asteroides". Actas de la Unión Astronómica Internacional 2004.IAUC196 (2004): 1-11. Imprimir.
Der, Gim J.. "Nuevos algoritmos exclusivos de ángulos para la determinación de la órbita inicial". Conferencia sobre tecnologías avanzadas de vigilancia espacial y óptica de Maui. (2012). Imprimir.