Método del punto medio

Solución numérica para ecuaciones diferenciales

Ilustración del método del punto medio asumiendo que es igual al valor exacto El método del punto medio calcula de modo que la cuerda roja sea aproximadamente paralela a la línea tangente en el punto medio (la línea verde). ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle y(t_{n}).}$ ${\displaystyle y_{n+1}}$

En el análisis numérico , una rama de las matemáticas aplicadas , el método del punto medio es un método de un solo paso para resolver numéricamente la ecuación diferencial ,

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$

El método explícito del punto medio viene dado por la fórmula

El método del punto medio implícito por

para Aquí, es el tamaño del paso — un número positivo pequeño, y es el valor aproximado calculado de El método de punto medio explícito a veces también se conoce como el método de Euler modificado , ^[1] el método implícito es el método de colocación más simple y, aplicado a la dinámica hamiltoniana, un integrador simpléctico . Tenga en cuenta que el método de Euler modificado puede hacer referencia al método de Heun , ^[2] para mayor claridad, consulte la Lista de métodos de Runge-Kutta . ${\displaystyle n=0,1,2,\dots }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t_{n}=t_{0}+nh,}$ ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle y(t_{n}).}$

El nombre del método proviene del hecho de que en la fórmula anterior, la función que da la pendiente de la solución se evalúa en el punto medio entre el punto en el que se conoce el valor de y el punto en el que se necesita encontrar el valor de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t=t_{n}+h/2={\tfrac {t_{n}+t_{n+1}}{2}},}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle t_{n+1}}$ ${\displaystyle y(t)}$

Una interpretación geométrica puede dar una mejor comprensión intuitiva del método (ver figura a la derecha). En el método básico de Euler , la tangente de la curva en se calcula utilizando . El siguiente valor se encuentra donde la tangente interseca la línea vertical . Sin embargo, si la segunda derivada es solo positiva entre y , o solo negativa (como en el diagrama), la curva se desviará cada vez más de la tangente, lo que conducirá a errores mayores a medida que aumenta. El diagrama ilustra que la tangente en el punto medio (segmento de línea verde superior) probablemente daría una aproximación más precisa de la curva en ese intervalo. Sin embargo, esta tangente del punto medio no podría calcularse con precisión porque no conocemos la curva (eso es lo que se debe calcular). En cambio, esta tangente se estima utilizando el método original de Euler para estimar el valor de en el punto medio, luego calculando la pendiente de la tangente con . Finalmente, la tangente mejorada se utiliza para calcular el valor de a partir de . Este último paso está representado por la cuerda roja en el diagrama. Nótese que la cuerda roja no es exactamente paralela al segmento verde (la tangente verdadera), debido al error en la estimación del valor de en el punto medio. ${\displaystyle (t_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle f(t_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle y_{n+1}}$ ${\displaystyle t=t_{n+1}}$ ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle t_{n+1}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle f()}$ ${\displaystyle y_{n+1}}$ ${\displaystyle y_{n}}$ ${\displaystyle y(t)}$

El error local en cada paso del método del punto medio es de orden , lo que da un error global de orden . Por lo tanto, si bien es más intensivo en términos computacionales que el método de Euler, el error del método del punto medio generalmente disminuye más rápido a medida que . ${\displaystyle O\left(h^{3}\right)}$ ${\displaystyle O\left(h^{2}\right)}$ ${\displaystyle h\to 0}$

Los métodos son ejemplos de una clase de métodos de orden superior conocidos como métodos Runge-Kutta .

Derivación del método del punto medio

Ilustración de integración numérica para la ecuación Azul: el método de Euler , verde: el método del punto medio, rojo: la solución exacta. El tamaño del paso es ${\displaystyle y'=y,y(0)=1.}$ ${\displaystyle y=e^{t}.}$ ${\displaystyle h=1.0.}$

La misma ilustración muestra que el método del punto medio converge más rápido que el método de Euler. ${\displaystyle h=0.25.}$

El método del punto medio es un refinamiento del método de Euler.

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}),\,}$

y se deriva de manera similar. La clave para derivar el método de Euler es la igualdad aproximada

que se obtiene de la fórmula de la pendiente

y teniendo en cuenta que ${\displaystyle y'=f(t,y).}$

Para los métodos de punto medio, se reemplaza (3) con el más preciso

${\displaystyle y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}}$

cuando en lugar de (2) encontramos

No se puede utilizar esta ecuación para hallar , ya que no se sabe en . La solución es entonces utilizar una expansión en serie de Taylor exactamente como si se utilizara el método de Euler para resolver : ${\displaystyle y(t+h)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t+h/2}$ ${\displaystyle y(t+h/2)}$

${\displaystyle y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx y(t)+{\frac {h}{2}}y'(t)=y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t)),}$

que, al enchufarlo (4), nos da

${\displaystyle y(t+h)\approx y(t)+hf\left(t+{\frac {h}{2}},y(t)+{\frac {h}{2}}f(t,y(t))\right)}$

y el método explícito del punto medio (1e).

El método implícito (1i) se obtiene aproximando el valor en el medio paso por el punto medio del segmento de línea de a ${\displaystyle t+h/2}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle y(t+h)}$

${\displaystyle y\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx {\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}}$

y por lo tanto

${\displaystyle {\frac {y(t+h)-y(t)}{h}}\approx y'\left(t+{\frac {h}{2}}\right)\approx k=f\left(t+{\frac {h}{2}},{\frac {1}{2}}{\bigl (}y(t)+y(t+h){\bigr )}\right)}$

Inserción de la aproximación de resultados en el método implícito de Runge-Kutta ${\displaystyle y_{n}+h\,k}$ ${\displaystyle y(t_{n}+h)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k&=f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}k\right)\\y_{n+1}&=y_{n}+h\,k\end{aligned}}}$

que contiene el método de Euler implícito con tamaño de paso como su primera parte. ${\displaystyle h/2}$

Debido a la simetría temporal del método implícito, todos los términos de grado par en el error local se cancelan, de modo que el error local es automáticamente de orden . Reemplazando el método de Euler implícito por el explícito en la determinación de los resultados nuevamente en el método de punto medio explícito. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(h^{3})}$ ${\displaystyle k}$

Véase también

• Método del rectángulo
• El método de Heun
• Integración de Leapfrog e integración de Verlet

Notas

1. Süli y Mayers 2003, pág. 328
2. Carga y ferias 2010, pag. 286

Referencias

• Griffiths, DV; Smith, IM (1991). Métodos numéricos para ingenieros: un enfoque de programación . Boca Raton: CRC Press. p. 218. ISBN 0-8493-8610-1.
• Süli, Endre; Mayers, David (2003), Introducción al análisis numérico , Cambridge University Press , ISBN 0-521-00794-1.
• Burden, Richard; Faires, John (2010). Análisis numérico . Richard Stratton. pág. 286. ISBN 978-0-538-73351-9.