El método de Heun

Procedimiento para resolver EDO

En matemáticas y ciencias computacionales , el método de Heun puede referirse al método de Euler mejorado ^[1] o modificado (es decir, la regla trapezoidal explícita ^{[2] ), o un} método Runge-Kutta de dos etapas similar . Lleva el nombre de Karl Heun y es un procedimiento numérico para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) con un valor inicial dado . Ambas variantes pueden verse como extensiones del método de Euler en métodos Runge-Kutta de segundo orden de dos etapas.

El procedimiento para calcular la solución numérica del problema de valor inicial:

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\qquad \qquad y(t_{0})=y_{0},}$

Mediante el método de Heun, se calcula primero el valor intermedio y luego la aproximación final en el siguiente punto de integración. ${\displaystyle {\tilde {y}}_{i+1}}$ ${\displaystyle y_{i+1}}$

${\displaystyle {\tilde {y}}_{i+1}=y_{i}+hf(t_{i},y_{i})}$

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+{\frac {h}{2}}[f(t_{i},y_{i})+f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1})],}$

¿Dónde está el tamaño del paso y ? ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t_{i+1}=t_{i}+h}$

Descripción

El método de Euler se utiliza como base para el método de Heun. El método de Euler utiliza la línea tangente a la función al comienzo del intervalo como una estimación de la pendiente de la función en el intervalo, asumiendo que si el tamaño del paso es pequeño, el error será pequeño. Sin embargo, incluso cuando se utilizan tamaños de paso extremadamente pequeños, a lo largo de una gran cantidad de pasos el error comienza a acumularse y la estimación diverge del valor funcional real.

Cuando la curva solución es cóncava hacia arriba, su línea tangente subestimará la coordenada vertical del siguiente punto y viceversa para una solución cóncava hacia abajo. La línea de predicción ideal tocaría la curva en su siguiente punto predicho. En realidad, no hay forma de saber si la solución es cóncava hacia arriba o hacia abajo y, por lo tanto, si el siguiente punto predicho sobrestimará o subestimará su valor vertical. Tampoco se puede garantizar que la concavidad de la curva permanezca constante y la predicción puede sobreestimar y subestimar en diferentes puntos en el dominio de la solución. El método de Heun aborda este problema considerando el intervalo abarcado por el segmento de la línea tangente como un todo. Tomando un ejemplo cóncavo hacia arriba, la línea de predicción tangente izquierda subestima la pendiente de la curva para todo el ancho del intervalo desde el punto actual hasta el siguiente punto predicho. Si se considera la línea tangente en el punto final derecho (que se puede estimar utilizando el método de Euler), tiene el problema opuesto. ^[3] Los puntos a lo largo de la línea tangente del punto final izquierdo tienen coordenadas verticales que subestiman todas las que se encuentran en la curva solución, incluido el punto final derecho del intervalo en consideración. La solución es hacer que la pendiente sea mayor en cierta cantidad. El método de Heun considera las líneas tangentes a la curva solución en ambos extremos del intervalo, una que sobreestima y otra que subestima las coordenadas verticales ideales. Se debe construir una línea de predicción basada solo en la pendiente de la tangente del punto final derecho, aproximada utilizando el método de Euler. Si esta pendiente pasa por el punto final izquierdo del intervalo, el resultado es evidentemente demasiado empinado para ser utilizado como una línea de predicción ideal y sobreestima el punto ideal. Por lo tanto, el punto ideal se encuentra aproximadamente a medio camino entre la sobreestimación y la subestimación erróneas, el promedio de las dos pendientes.

Un diagrama que representa el uso del método de Heun para encontrar una predicción menos errónea en comparación con el método de Euler de orden inferior.

El método de Euler se utiliza para estimar aproximadamente las coordenadas del siguiente punto en la solución y, con este conocimiento, se vuelve a predecir o corregir la estimación original . ^[4] Suponiendo que la cantidad en el lado derecho de la ecuación puede considerarse como la pendiente de la solución buscada en cualquier punto , esto se puede combinar con la estimación de Euler del siguiente punto para dar la pendiente de la línea tangente en el punto final derecho. A continuación, se utiliza el promedio de ambas pendientes para encontrar las coordenadas corregidas del intervalo del extremo derecho. ${\displaystyle \textstyle f(x,y)}$ ${\displaystyle \textstyle (x,y)}$

Derivación

${\displaystyle {\text{Slope}}_{\text{left}}=f(x_{i},y_{i})}$

${\displaystyle {\text{Slope}}_{\text{right}}=f(x_{i}+h,y_{i}+hf(x_{i},y_{i}))}$

${\displaystyle {\text{Slope}}_{\text{ideal}}={\frac {1}{2}}({\text{Slope}}_{\text{left}}+{\text{Slope}}_{\text{right}})}$

Utilizando el principio de que la pendiente de una línea equivale a la elevación/recorrido, las coordenadas al final del intervalo se pueden encontrar utilizando la siguiente fórmula:

${\displaystyle {\text{Slope}}_{\text{ideal}}={\frac {\Delta y}{h}}}$

${\displaystyle \Delta y=h({\text{Slope}}_{\text{ideal}})}$

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}+h}$, ${\displaystyle \textstyle y_{i+1}=y_{i}+\Delta y}$

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+h{\text{Slope}}_{\text{ideal}}}$

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+{\frac {1}{2}}h({\text{Slope}}_{\text{left}}+{\text{Slope}}_{\text{right}})}$

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}+{\frac {h}{2}}(f(x_{i},y_{i})+f(x_{i}+h,y_{i}+hf(x_{i},y_{i})))}$

La precisión del método de Euler mejora solo linealmente a medida que disminuye el tamaño del paso, mientras que el método de Heun mejora la precisión de forma cuadrática. ^[5] El esquema se puede comparar con el método trapezoidal implícito , pero con reemplazado por para hacerlo explícito. es el resultado de un paso del método de Euler en el mismo problema de valor inicial. Por lo tanto, el método de Heun es un método predictor-corrector con el método de Euler directo como predictor y el método trapezoidal como corrector. ${\displaystyle f(t_{i+1},y_{i+1})}$ ${\displaystyle f(t_{i+1},{\tilde {y}}_{i+1})}$ ${\displaystyle {\tilde {y}}_{i+1}}$

Método Runge-Kutta

El método de Euler mejorado es un método de Runge-Kutta de dos etapas y se puede escribir utilizando la tabla de Butcher (según John C. Butcher ):

El otro método denominado método de Heun (también conocido como método de Ralston) tiene la tabla de Butcher: ^[6]

Este método minimiza el error de truncamiento.

Referencias

1. Süli, Endre; Mayers, David (2003), Introducción al análisis numérico , Cambridge University Press , ISBN 0-521-00794-1.
2. Ascher, Uri M.; Petzold, Linda R. (1998), Métodos informáticos para ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones diferenciales-algebraicas , Filadelfia: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas , ISBN 978-0-89871-412-8.
3. "Métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales". San Joaquin Delta College. Archivado desde el original el 12 de febrero de 2009.
4. Chen, Wenfang.; Kee, Daniel D. (2003), Matemáticas avanzadas para ingeniería y ciencia , MA, EE. UU.: World Scientific, ISBN 981-238-292-5.
5. "El método de Euler-Heun" (PDF) . LiveToad.org. Archivado desde el original (PDF) el 14 de octubre de 2018.
6. Líder, Jeffery J. (2004), Análisis numérico y computación científica , Boston: Addison-Wesley , ISBN 0-201-73499-0.