Métodos explícitos e implícitos.

Enfoques para aproximar soluciones a ecuaciones diferenciales.

Los métodos explícitos e implícitos son enfoques utilizados en el análisis numérico para obtener aproximaciones numéricas a las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales y ordinarias dependientes del tiempo , como se requiere en las simulaciones por computadora de procesos físicos . Los métodos explícitos calculan el estado de un sistema en un momento posterior a partir del estado del sistema en el momento actual, mientras que los métodos implícitos encuentran una solución resolviendo una ecuación que involucra tanto el estado actual del sistema como el posterior. Matemáticamente, si es el estado actual del sistema y es el estado posterior ( es un pequeño paso de tiempo), entonces, para un método explícito ${\displaystyle Y(t)}$ ${\displaystyle Y(t+\Delta t)}$ ${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle Y(t+\Delta t)=F(Y(t))\,}$

mientras que para un método implícito se resuelve una ecuación

${\displaystyle G{\Big (}Y(t),Y(t+\Delta t){\Big )}=0\qquad (1)\,}$

encontrar ${\displaystyle Y(t+\Delta t).}$

Cálculo

Los métodos implícitos requieren un cálculo adicional (resolver la ecuación anterior) y pueden ser mucho más difíciles de implementar. Los métodos implícitos se utilizan porque muchos problemas que surgen en la práctica son difíciles , por lo que el uso de un método explícito requiere pasos de tiempo imprácticamente pequeños para mantener el error en el resultado acotado (ver estabilidad numérica ). Para tales problemas, para lograr una precisión determinada, se necesita mucho menos tiempo de cálculo para utilizar un método implícito con pasos de tiempo más grandes, incluso teniendo en cuenta que es necesario resolver una ecuación de la forma (1) en cada paso de tiempo. Dicho esto, si se debe utilizar un método explícito o implícito depende del problema a resolver. ${\displaystyle \Delta t}$

Dado que el método implícito no se puede aplicar para cada tipo de operador diferencial, en ocasiones es aconsejable hacer uso del llamado método de división de operadores, lo que significa que el operador diferencial se reescribe como la suma de dos operadores complementarios.

${\displaystyle Y(t+\Delta t)=F(Y(t+\Delta t))+G(Y(t)),\,}$

mientras que uno es tratado explícitamente y el otro implícitamente. Para aplicaciones habituales, se elige que el término implícito sea lineal, mientras que el término explícito puede ser no lineal. Esta combinación del método anterior se llama Método implícito-explícito (IMEX abreviado, ^{[1] [2]} ).

Ilustración utilizando los métodos de Euler hacia adelante y hacia atrás.

Considere la ecuación diferencial ordinaria.

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-y^{2},\ t\in [0,a]\quad \quad (2)}$

con la condición inicial Considere una cuadrícula para 0 ≤  k  ≤  n , es decir, el paso de tiempo es y denota para cada uno . Discretiza esta ecuación usando los métodos explícitos e implícitos más simples, que son los métodos de Euler hacia adelante y hacia atrás (ver ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas ) y compara los esquemas obtenidos. ${\displaystyle y(0)=1.}$ ${\displaystyle t_{k}=a{\frac {k}{n}}}$ ${\displaystyle \Delta t=a/n,}$ ${\displaystyle y_{k}=y(t_{k})}$ ${\displaystyle k}$

Método de Euler directo

El resultado de aplicar diferentes métodos de integración a la ODE: con . ${\displaystyle y'=-y^{2},\;t\in [0,5],\;y_{0}=1}$ ${\displaystyle \Delta t=5/10}$

El método directo de Euler

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)_{k}\approx {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-y_{k}^{2}}$

rendimientos

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}-\Delta ty_{k}^{2}\quad \quad \quad (3)\,}$

para cada Esta es una fórmula explícita para . ${\displaystyle k=0,1,\dots ,n.}$ ${\displaystyle y_{k+1}}$

Método de Euler hacia atrás

Con el método de Euler hacia atrás

${\displaystyle {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-y_{k+1}^{2}}$

se encuentra la ecuación implícita

${\displaystyle y_{k+1}+\Delta ty_{k+1}^{2}=y_{k}}$

para (compare esto con la fórmula (3) donde se dio explícitamente en lugar de como una incógnita en una ecuación). ${\displaystyle y_{k+1}}$ ${\displaystyle y_{k+1}}$

Esta es una ecuación cuadrática que tiene una raíz negativa y una positiva . Se elige la raíz positiva porque en la ecuación original la condición inicial es positiva y luego, en el siguiente paso, viene dada por ${\displaystyle y}$

${\displaystyle y_{k+1}={\frac {-1+{\sqrt {1+4\Delta ty_{k}}}}{2\Delta t}}.\quad \quad (4)}$

En la gran mayoría de los casos, la ecuación a resolver cuando se utiliza un esquema implícito es mucho más complicada que una ecuación cuadrática y no existe una solución analítica. Luego se utilizan algoritmos de búsqueda de raíces , como el método de Newton , para encontrar la solución numérica.

Método Crank-Nicolson

Con el método Crank-Nicolson

${\displaystyle {\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}=-{\frac {1}{2}}y_{k+1}^{2}-{\frac {1}{2}}y_{k}^{2}}$

se encuentra la ecuación implícita

${\displaystyle y_{k+1}+{\frac {1}{2}}\Delta ty_{k+1}^{2}=y_{k}-{\frac {1}{2}}\Delta ty_{k}^{2}}$

para (compare esto con la fórmula (3) donde se dio explícitamente en lugar de como una incógnita en una ecuación). Esto se puede resolver numéricamente utilizando algoritmos de búsqueda de raíces , como el método de Newton , para obtener . ${\displaystyle y_{k+1}}$ ${\displaystyle y_{k+1}}$ ${\displaystyle y_{k+1}}$

Crank-Nicolson puede verse como una forma de esquemas IMEX ( implícito - explícito ) más generales.

Método de Euler hacia adelante-hacia atrás

El resultado de aplicar tanto el método Forward Euler como el método Forward-Backward Euler para y . ${\displaystyle a=5}$ ${\displaystyle n=30}$

Para aplicar el esquema IMEX, considere una ecuación diferencial ligeramente diferente:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=y-y^{2},\ t\in [0,a]\quad \quad (5)}$

Resulta que

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dt}}\right)_{k}\approx y_{k+1}-y_{k}^{2},\ t\in [0,a]}$

y por lo tanto

${\displaystyle y_{k+1}={\frac {y_{k}(1-y_{k}\Delta t)}{1-\Delta t}}\quad \quad (6)}$

para cada ${\displaystyle k=0,1,\dots ,n.}$

Ver también

• Condición de Courant-Friedrichs-Lewy
• Algoritmo SIMPLE , un método semiimplícito para ecuaciones ligadas a presión

Fuentes

1. UM Ascher, SJ Ruuth, RJ Spiteri: métodos implícitos-explícitos de Runge-Kutta para ecuaciones diferenciales parciales dependientes del tiempo , Appl Numer Math, vol. 25(2-3), 1997
2. L.Pareschi, G.Russo: Esquemas implícitos-explícitos de Runge-Kutta para sistemas rígidos de ecuaciones diferenciales , Tendencias recientes en análisis numérico, vol. 3, 269-289, 2000