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Método del punto material

El método de puntos materiales ( MPM ) es una técnica numérica utilizada para simular el comportamiento de sólidos , líquidos , gases y cualquier otro material continuo . En particular, es un método de discretización espacial robusto para simular interacciones multifásicas (sólido-fluido-gas). En el MPM, un cuerpo continuo se describe mediante una serie de pequeños elementos lagrangianos denominados "puntos materiales". Estos puntos materiales están rodeados por una malla/cuadrícula de fondo que se utiliza para calcular términos como el gradiente de deformación. A diferencia de otros métodos basados ​​en mallas como el método de elementos finitos , el método de volúmenes finitos o el método de diferencias finitas , el MPM no es un método basado en mallas y, en cambio, se clasifica como un método de partículas sin malla/sin malla o basado en continuos, ejemplos de los cuales son la hidrodinámica de partículas suavizadas y la peridinámica . A pesar de la presencia de una malla de fondo, el MPM no encuentra los inconvenientes de los métodos basados ​​en malla (elevado enredo de deformación, errores de advección, etc.), lo que lo convierte en una herramienta prometedora y poderosa en la mecánica computacional .

El MPM fue propuesto originalmente, como una extensión de un método similar conocido como FLIP (una extensión adicional de un método llamado PIC ) a la dinámica de sólidos computacional, a principios de 1990 por los profesores Deborah L. Sulsky, Zhen Chen y Howard L. Schreyer en la Universidad de Nuevo México. Después de este desarrollo inicial, el MPM se ha desarrollado aún más tanto en los laboratorios nacionales como en la Universidad de Nuevo México , la Universidad Estatal de Oregón , la Universidad de Utah y más en los EE. UU. y el mundo. Recientemente, el número de instituciones que investigan el MPM ha ido creciendo con una mayor popularidad y conocimiento proveniente de varias fuentes, como el uso del MPM en la película Frozen de Disney .

El algoritmo

Una simulación MPM consta de las siguientes etapas:

(Antes de la fase de integración temporal)

  1. Inicialización de puntos de malla y material.
    1. Una geometría se discretiza en una colección de puntos materiales, cada uno con sus propias propiedades materiales y condiciones iniciales (velocidad, tensión, temperatura, etc.)
    2. La cuadrícula, que solo se utiliza para proporcionar un lugar para los cálculos de gradiente, normalmente está diseñada para cubrir un área lo suficientemente grande como para llenar la extensión esperada del dominio computacional necesario para la simulación.

(Durante la fase de integración temporal – formulación explícita )

  1. Las cantidades de puntos materiales se extrapolan a los nodos de la red.
    1. La masa puntual material ( ), los momentos ( ), las tensiones ( ) y las fuerzas externas ( ) se extrapolan a los nodos en las esquinas de las celdas dentro de las cuales residen los puntos materiales. Esto se hace más comúnmente utilizando funciones de forma lineal estándar ( ), las mismas que se utilizan en FEM.
    2. La cuadrícula utiliza los valores de los puntos materiales para crear las masas ( ), velocidades ( ), vectores de fuerza interna y externa ( , ) para los nodos:
  2. Las ecuaciones de movimiento se resuelven en la cuadrícula.
    1. Se resuelve la segunda ley de Newton para obtener la aceleración nodal ( )
    2. Se encuentran nuevas velocidades nodales ( ).
  3. Los términos derivados se extrapolan a puntos materiales.
    1. La aceleración del punto material ( ), el gradiente de deformación ( ) (o la velocidad de deformación ( ) dependiendo de la teoría de deformación utilizada) se extrapola desde los nodos circundantes utilizando funciones de forma similares a las anteriores ( ).
    2. Las variables en los puntos materiales: posiciones, velocidades, deformaciones, tensiones, etc. se actualizan luego con estas tasas dependiendo del esquema de integración elegido y de un modelo constitutivo adecuado .
  4. Restablecimiento de la red.
    Ahora que los puntos materiales están completamente actualizados en el siguiente paso de tiempo, la cuadrícula se reinicia para permitir que comience el siguiente paso de tiempo.

Historia de PIC/MPM

El PIC fue concebido originalmente para resolver problemas de dinámica de fluidos y desarrollado por Harlow en el Laboratorio Nacional de Los Álamos en 1957. [1] Uno de los primeros códigos PIC fue el programa Fluid-Implicit Particle (FLIP), creado por Brackbill en 1986 [2] y que ha estado en constante desarrollo desde entonces. Hasta la década de 1990, el método PIC se utilizó principalmente en dinámica de fluidos.

Motivados por la necesidad de simular mejor los problemas de penetración en la dinámica de sólidos, Sulsky, Chen y Schreyer comenzaron en 1993 a reformular el PIC y desarrollar el MPM, con financiación de Sandia National Laboratories. [3] El MPM original fue ampliado posteriormente por Bardenhagen et al . para incluir el contacto por fricción, [4] lo que permitió la simulación del flujo granular, [5] y por Nairn para incluir grietas explícitas [6] y propagación de grietas (conocida como CRAMP).

Recientemente, se ha utilizado una implementación de MPM basada en un continuo Cosserat micropolar [7] para simular un flujo granular de alto esfuerzo cortante, como la descarga de un silo. Los usos de MPM se extendieron aún más a la ingeniería geotécnica con el reciente desarrollo de un solucionador MPM implícito y cuasiestático que proporciona análisis numéricamente estables de problemas de gran deformación en la mecánica de suelos . [8]

Se realizan talleres anuales sobre el uso de MPM en varios lugares de los Estados Unidos. El quinto taller de MPM se celebró en la Universidad Estatal de Oregón , en Corvallis, Oregón , el 2 y 3 de abril de 2009.

Aplicaciones de PIC/MPM

Los usos del método PIC o MPM se pueden dividir en dos grandes categorías: en primer lugar, existen muchas aplicaciones relacionadas con la dinámica de fluidos, la física del plasma, la magnetohidrodinámica y las aplicaciones multifásicas. La segunda categoría de aplicaciones comprende problemas de mecánica de sólidos.

Dinámica de fluidos y simulaciones multifásicas

El método PIC se ha utilizado para simular una amplia gama de interacciones fluido-sólido, incluyendo dinámicas de hielo marino, [9] penetración de tejidos blandos biológicos, [10] fragmentación de botes llenos de gas, [11] dispersión de contaminantes atmosféricos, [12] simulaciones multiescala que acoplan dinámica molecular con MPM, [13] [14] e interacciones fluido-membrana. [15] Además, el código FLIP basado en PIC se ha aplicado en magnetohidrodinámica y herramientas de procesamiento de plasma, y ​​simulaciones en astrofísica y flujo de superficie libre. [16]

Como resultado de un esfuerzo conjunto entre el departamento de matemáticas de la UCLA y Walt Disney Animation Studios , MPM se utilizó con éxito para simular la nieve en la película animada Frozen de 2013. [17] [18] [19]

Mecánica de sólidos

El MPM también se ha utilizado ampliamente en mecánica de sólidos, para simular impacto, penetración, colisión y rebote, así como propagación de grietas. [20] [21] El MPM también se ha convertido en un método ampliamente utilizado dentro del campo de la mecánica de suelos: se ha utilizado para simular flujo granular, prueba de rapidez de arcillas sensibles, [22] deslizamientos de tierra, [23] [24] [25] descarga de silos, hincado de pilotes, prueba de cono de caída, [26] [27] [28] [29] llenado de baldes y falla de materiales; y para modelar la distribución de tensiones del suelo, [30] compactación y endurecimiento. Ahora se está utilizando en problemas de mecánica de la madera, como simulaciones de compresión transversal a nivel celular, incluido el contacto de la pared celular. [31] El trabajo también recibió el Premio George Marra al artículo del año de la Sociedad de Ciencia y Tecnología de la Madera. [32]

Clasificación de los códigos PIC/MPM

MPM en el contexto de los métodos numéricos

Un subconjunto de los métodos numéricos son los métodos sin malla , que se definen como métodos para los que "no es necesaria una malla predefinida, al menos en la interpolación de variables de campo". Idealmente, un método sin malla no hace uso de una malla "a lo largo del proceso de resolución del problema regido por ecuaciones diferenciales parciales, en un dominio arbitrario dado, sujeto a todo tipo de condiciones de contorno", aunque los métodos existentes no son ideales y fallan en al menos uno de estos aspectos. Los métodos sin malla, que a veces también se denominan métodos de partículas, comparten una "característica común de que la historia de las variables de estado se rastrea en puntos (partículas) que no están conectados con ninguna malla de elementos, cuya distorsión es una fuente de dificultades numéricas". Como se puede ver por estas diferentes interpretaciones, algunos científicos consideran que el MPM es un método sin malla, mientras que otros no. Sin embargo, todos coinciden en que el MPM es un método de partículas.

Los métodos eulerianos lagrangianos arbitrarios (ALE) forman otro subconjunto de métodos numéricos que incluye MPM. Los métodos puramente lagrangianos emplean un marco en el que un espacio se discretiza en subvolúmenes iniciales, cuyas trayectorias de flujo se representan gráficamente a lo largo del tiempo. Los métodos puramente eulerianos , por otro lado, emplean un marco en el que el movimiento del material se describe en relación con una malla que permanece fija en el espacio durante todo el cálculo. Como indica el nombre, los métodos ALE combinan marcos de referencia lagrangianos y eulerianos.

Subclasificación de MPM/PIC

Los métodos PIC pueden basarse en la colocación en forma fuerte o en una discretización en forma débil de la ecuación diferencial parcial (EDP) subyacente. Los que se basan en la forma fuerte se denominan correctamente métodos PIC de volumen finito. Los que se basan en la discretización en forma débil de las EDP pueden denominarse PIC o MPM.

Los solucionadores MPM pueden modelar problemas en una, dos o tres dimensiones espaciales, y también pueden modelar problemas axisimétricos . MPM se puede implementar para resolver ecuaciones de movimiento cuasiestáticas o dinámicas , dependiendo del tipo de problema que se va a modelar. Varias versiones de MPM incluyen el método de punto material de interpolación generalizada [33] ; el método de interpolación de dominio de partículas convectivas; [34] el método de interpolación de mínimos cuadrados de partículas convectivas. [35]

La integración temporal utilizada para MPM puede ser explícita o implícita . La ventaja de la integración implícita es la estabilidad garantizada, incluso para intervalos de tiempo grandes. Por otro lado, la integración explícita se ejecuta mucho más rápido y es más fácil de implementar.

Ventajas

En comparación con FEM

A diferencia del método FEM , el método MPM no requiere pasos periódicos de remallado ni reasignación de variables de estado, y por lo tanto es más adecuado para el modelado de grandes deformaciones de materiales. En el método MPM, las partículas y no los puntos de la malla almacenan toda la información sobre el estado del cálculo. Por lo tanto, no se produce ningún error numérico cuando la malla vuelve a su posición original después de cada ciclo de cálculo, y no se requiere ningún algoritmo de remallado.

La base de partículas del MPM le permite tratar la propagación de grietas y otras discontinuidades mejor que el método de elementos finitos, que se sabe que impone la orientación de la malla en la propagación de grietas en un material. Además, los métodos de partículas son mejores para manejar modelos constitutivos dependientes de la historia.

En comparación con los métodos de partículas puras

Debido a que en MPM los nodos permanecen fijos en una cuadrícula regular, el cálculo de gradientes es trivial.

En simulaciones con dos o más fases es bastante fácil detectar el contacto entre entidades, ya que las partículas pueden interactuar a través de la rejilla con otras partículas del mismo cuerpo, con otros cuerpos sólidos y con fluidos.

Desventajas del MPM

El MPM es más costoso en términos de almacenamiento que otros métodos, ya que utiliza datos de malla y de partículas. El MPM es más costoso computacionalmente que el FEM, ya que la cuadrícula debe restablecerse al final de cada paso de cálculo del MPM y reiniciarse al comienzo del siguiente paso. Puede producirse una oscilación espuria cuando las partículas cruzan los límites de la malla en el MPM, aunque este efecto se puede minimizar utilizando métodos de interpolación generalizados (GIMP). En el MPM, como en el FEM, el tamaño y la orientación de la malla pueden afectar los resultados de un cálculo: por ejemplo, en el MPM, se sabe que la localización de la tensión es particularmente sensible al refinamiento de la malla. Un problema de estabilidad en el MPM que no ocurre en el FEM son los errores de cruce de celdas y los errores de espacio nulo [36] porque el número de puntos de integración (puntos materiales) no permanece constante en una celda.

Notas

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