Método de Darwin-Fowler

Método para derivar las funciones de distribución con probabilidad media.

En mecánica estadística , el método de Darwin-Fowler se utiliza para derivar funciones de distribución con probabilidad media. Fue desarrollado por Charles Galton Darwin y Ralph H. Fowler en 1922-1923. ^{[1] [2]}

Las funciones de distribución se utilizan en física estadística para estimar el número medio de partículas que ocupan un nivel de energía (de ahí que también se les llame números de ocupación). Estas distribuciones se derivan principalmente de aquellos números para los cuales el sistema considerado se encuentra en su estado de máxima probabilidad. Pero realmente se necesitan cifras medias. Estos números promedio se pueden obtener mediante el método de Darwin-Fowler. Por supuesto, para sistemas en el límite termodinámico (gran número de partículas), como en la mecánica estadística, los resultados son los mismos que con la maximización.

Método de Darwin-Fowler

En la mayoría de los textos sobre mecánica estadística, las funciones de distribución estadística en las estadísticas de Maxwell-Boltzmann , las estadísticas de Bose-Einstein y las estadísticas de Fermi-Dirac ) se derivan determinando aquellas para las cuales el sistema se encuentra en su estado de máxima probabilidad. Pero realmente se necesitan aquellos con probabilidad media o media, aunque –por supuesto– los resultados suelen ser los mismos para sistemas con una gran cantidad de elementos, como es el caso de la mecánica estadística. El método para derivar funciones de distribución con probabilidad media ha sido desarrollado por CG Darwin y Fowler ^[2] y, por tanto, se conoce como método de Darwin-Fowler. Este método es el procedimiento general más confiable para derivar funciones de distribución estadística. Dado que el método emplea una variable selectora (un factor introducido para cada elemento para permitir un procedimiento de conteo), el método también se conoce como método Darwin-Fowler de variables selectoras. Tenga en cuenta que una función de distribución no es lo mismo que la probabilidad – cf. Distribución de Maxwell-Boltzmann , distribución de Bose-Einstein , distribución de Fermi-Dirac . También tenga en cuenta que la función de distribución , que es una medida de la fracción de los estados que realmente están ocupados por elementos, está dada por o , donde es la degeneración del nivel de energía y es el número de elementos que ocupan este nivel (por ejemplo, en Fermi –Estadísticas de Dirac 0 o 1). La energía total y el número total de elementos vienen dados por y . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}=n_{i}/g_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}=f_{i}g_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle E=\sum _{i}n_{i}\varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle N=\sum n_{i}}$

El método Darwin-Fowler ha sido tratado en los textos de E. Schrödinger , ^[3] Fowler ^[4] y Fowler y EA Guggenheim , ^[5] de K. Huang , ^[6] y de HJW Müller–Kirsten . ^[7] El método también se analiza y utiliza para la derivación de la condensación de Bose-Einstein en el libro de RB Dingle . ^[8]

Estadística clásica

Para elementos independientes con nivel de energía y para un sistema canónico en baño térmico con temperatura configuramos ${\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle E=\sum _{i}n_{i}\varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle Z=\sum _{\text{arrangements}}e^{-E/kT}=\sum _{\text{arrangements}}\prod _{i}z_{i}^{n_{i}},\;\;\;z_{i}=e^{-\varepsilon _{i}/kT}.}$

El promedio de todos los arreglos es el número medio de ocupación.

${\displaystyle (n_{i})_{\text{av}}={\frac {\sum _{j}n_{j}Z}{Z}}=z_{j}{\frac {\partial }{\partial z_{j}}}\ln Z.}$

Insertar una variable selectora estableciendo ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle Z_{\omega }=\sum \prod _{i}(\omega z_{i})^{n_{i}}.}$

En la estadística clásica, los elementos son (a) distinguibles y pueden organizarse con paquetes de elementos en un nivel cuyo número es ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

${\displaystyle {\frac {N!}{\prod _{i}n_{i}!}},}$

para que en este caso

${\displaystyle Z_{\omega }=N!\sum _{n_{i}}\prod _{i}{\frac {(\omega z_{i})^{n_{i}}}{n_{i}!}}.}$

Teniendo en cuenta (b) la degeneración del nivel, esta expresión se convierte en ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

${\displaystyle Z_{\omega }=N!\prod _{i=1}^{\infty }\left(\sum _{n_{i}=0,1,2,\ldots }{\frac {(\omega z_{i})^{n_{i}}}{n_{i}!}}\right)^{g_{i}}=N!e^{\omega \sum _{i}g_{i}z_{i}}.}$

La variable selectora permite seleccionar cuyo coeficiente es . De este modo ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega ^{N}}$ ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle Z=\left(\sum _{i}g_{i}z_{i}\right)^{N},}$

y por lo tanto

${\displaystyle (n_{j})_{\text{av}}=z_{j}{\frac {\partial }{\partial z_{j}}}\ln Z=N{\frac {g_{j}e^{-\varepsilon _{j}/kT}}{\sum _{i}g_{i}e^{-\varepsilon _{i}/kT}}}.}$

Este resultado que concuerda con el valor más probable obtenido por maximización no implica una sola aproximación y, por lo tanto, es exacto, y demuestra así el poder de este método de Darwin-Fowler.

Estadística cuántica

tenemos como arriba

${\displaystyle Z_{\omega }=\sum \prod (\omega z_{i})^{n_{i}},\;\;z_{i}=e^{-\varepsilon _{i}/kT},}$

donde es el número de elementos en el nivel de energía . Dado que en la estadística cuántica los elementos son indistinguibles, no es necesario ningún cálculo preliminar del número de formas de dividir los elementos en paquetes . Por lo tanto, la suma se refiere sólo a la suma de los posibles valores de . ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3},...}$ ${\displaystyle \sum }$ ${\displaystyle n_{i}}$

En el caso de las estadísticas de Fermi-Dirac tenemos

${\displaystyle n_{i}=0}$ o ${\displaystyle n_{i}=1}$

por estado. Hay estados para el nivel de energía . Por lo tanto tenemos ${\displaystyle g_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$

${\displaystyle Z_{\omega }=(1+\omega z_{1})^{g_{1}}(1+\omega z_{2})^{g_{2}}\cdots =\prod (1+\omega z_{i})^{g_{i}}.}$

En el caso de las estadísticas de Bose-Einstein tenemos

${\displaystyle n_{i}=0,1,2,3,\ldots \infty .}$

Por el mismo procedimiento anterior obtenemos en el presente caso

${\displaystyle Z_{\omega }=(1+\omega z_{1}+(\omega z_{1})^{2}+(\omega z_{1})^{3}+\cdots )^{g_{1}}(1+\omega z_{2}+(\omega z_{2})^{2}+\cdots )^{g_{2}}\cdots .}$

Pero

${\displaystyle 1+\omega z_{1}+(\omega z_{1})^{2}+\cdots ={\frac {1}{(1-\omega z_{1})}}.}$

Por lo tanto

${\displaystyle Z_{\omega }=\prod _{i}(1-\omega z_{i})^{-g_{i}}.}$

Resumiendo ambos casos y recordando la definición de , tenemos que es el coeficiente de en ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \omega ^{N}}$

${\displaystyle Z_{\omega }=\prod _{i}(1\pm \omega z_{i})^{\pm g_{i}},}$

donde los signos superiores se aplican a las estadísticas de Fermi-Dirac y los signos inferiores a las estadísticas de Bose-Einstein.

A continuación tenemos que evaluar el coeficiente de en En el caso de una función que se puede expandir como ${\displaystyle \omega ^{N}}$ ${\displaystyle Z_{\omega }.}$ ${\displaystyle \phi (\omega )}$

${\displaystyle \phi (\omega )=a_{0}+a_{1}\omega +a_{2}\omega ^{2}+\cdots ,}$

el coeficiente de es, con la ayuda del teorema del residuo de Cauchy , ${\displaystyle \omega ^{N}}$

${\displaystyle a_{N}={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {\phi (\omega )d\omega }{\omega ^{N+1}}}.}$

Observamos que de manera similar el coeficiente en lo anterior se puede obtener como ${\displaystyle Z}$

${\displaystyle Z={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {Z_{\omega }}{\omega ^{N+1}}}d\omega \equiv {\frac {1}{2\pi i}}\int e^{f(\omega )}d\omega ,}$

dónde

${\displaystyle f(\omega )=\pm \sum _{i}g_{i}\ln(1\pm \omega z_{i})-(N+1)\ln \omega .}$

Diferenciando se obtiene

${\displaystyle f'(\omega )={\frac {1}{\omega }}\left[\sum _{i}{\frac {g_{i}}{(\omega z_{i})^{-1}\pm 1}}-(N+1)\right],}$

y

${\displaystyle f''(\omega )={\frac {N+1}{\omega ^{2}}}\mp {\frac {1}{\omega ^{2}}}\sum _{i}{\frac {g_{i}}{[(\omega z_{i})^{-1}\pm 1]^{2}}}.}$

Ahora se evalúan las derivadas primera y segunda de en el punto estacionario en el que . Este método de evaluación del entorno del punto de silla se conoce como método del descenso más pronunciado . Se obtiene entonces ${\displaystyle f(\omega )}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle f'(\omega _{0})=0.}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle Z={\frac {e^{f(\omega _{0})}}{\sqrt {2\pi f''(\omega _{0})}}}.}$

Tenemos y por lo tanto ${\displaystyle f'(\omega _{0})=0}$

${\displaystyle (N+1)=\sum _{i}{\frac {g_{i}}{(\omega _{0}z_{i})^{-1}\pm 1}}}$

(el +1 es insignificante ya que es grande). Veremos en un momento que esta última relación es simplemente la fórmula ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}.}$

Obtenemos el número medio de ocupación evaluando ${\displaystyle (n_{i})_{av}}$

${\displaystyle (n_{j})_{av}=z_{j}{\frac {d}{dz_{j}}}\ln Z={\frac {g_{j}}{(\omega _{0}z_{j})^{-1}\pm 1}}={\frac {g_{j}}{e^{(\varepsilon _{j}-\mu )/kT}\pm 1}},\quad e^{\mu /kT}=\omega _{0}.}$

Esta expresión da el número medio de elementos del total de en el volumen que ocupan a temperatura el nivel de 1 partícula con degeneración (ver, por ejemplo, probabilidad a priori ). Para que la relación sea confiable, se debe verificar que las contribuciones de orden superior inicialmente estén disminuyendo en magnitud, de modo que la expansión alrededor del punto de silla realmente produzca una expansión asintótica. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varepsilon _{j}}$ ${\displaystyle g_{j}}$

Referencias

1. "Método Darwin-Fowler". Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 27 de septiembre de 2018 .
2. Darwin, CG; Fowler, RH (1922). "Sobre la partición de la energía". Fil. Mag . 44 : 450–479, 823–842. doi :10.1080/14786440908565189.
3. Schrödinger, E. (1952). Termodinámica estadística . Prensa de la Universidad de Cambridge.
4. Fowler, RH (1952). Mecánica estadística . Prensa de la Universidad de Cambridge.
5. Cazador de aves, derecho derecho; Guggenheim, E. (1960). Termodinámica estadística . Prensa de la Universidad de Cambridge.
6. Huang, K. (1963). Mecánica estadística . Wiley.
7. Müller-Kirsten, HJW (2013). Conceptos básicos de física estadística (2ª ed.). Científico mundial. ISBN 978-981-4449-53-3.
8. Dingle, RB (1973). Expansiones asintóticas: su derivación e interpretación . Prensa académica. págs. 267–271. ISBN 0-12-216550-0.

Otras lecturas

• Mehra, Jagdish ; Rechenberg, Helmut (28 de diciembre de 2000). El desarrollo histórico de la teoría cuántica. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 9780387951805.