El método de volúmenes finitos ( FVM ) es un método para representar y evaluar ecuaciones diferenciales parciales en forma de ecuaciones algebraicas. [1] En el método de volumen finito, las integrales de volumen en una ecuación diferencial parcial que contienen un término de divergencia se convierten en integrales de superficie , utilizando el teorema de divergencia . Luego, estos términos se evalúan como flujos en las superficies de cada volumen finito. Debido a que el flujo que entra en un volumen determinado es idéntico al que sale del volumen adyacente, estos métodos son conservadores . Otra ventaja del método de volúmenes finitos es que se formula fácilmente para permitir mallas no estructuradas. El método se utiliza en muchos paquetes de dinámica de fluidos computacional . "Volumen finito" se refiere al pequeño volumen que rodea cada punto de nodo en una malla. [2]
Los métodos de volúmenes finitos se pueden comparar y contrastar con los métodos de diferencias finitas , que aproximan derivadas utilizando valores nodales, o métodos de elementos finitos , que crean aproximaciones locales de una solución utilizando datos locales y construyen una aproximación global uniéndolas. Por el contrario, un método de volumen finito evalúa expresiones exactas para el valor promedio de la solución en un cierto volumen y utiliza estos datos para construir aproximaciones de la solución dentro de las celdas. [3] [4]
Considere un problema simple de advección 1D :
Aquí, representa la variable de estado y representa el flujo o flujo de . Convencionalmente, positivo representa flujo hacia la derecha mientras que negativo representa flujo hacia la izquierda. Si asumimos que la ecuación ( 1 ) representa un medio fluido de área constante, podemos subdividir el dominio espacial, en volúmenes finitos o celdas con centros de celda indexados como . Para una celda en particular, podemos definir el valor promedio de volumen de en el momento y , como
y en el momento como,
donde y representan ubicaciones de las caras o bordes aguas arriba y aguas abajo, respectivamente, de la celda.
Integrando la ecuación ( 1 ) en el tiempo, tenemos:
dónde .
Para obtener el promedio de volumen de at time , integramos el volumen de la celda y dividimos el resultado entre , es decir
Suponemos que se porta bien y que podemos invertir el orden de integración. Además, recuerde que el flujo es normal a la unidad de área de la celda. Ahora, dado que en una dimensión , podemos aplicar el teorema de la divergencia , es decir , y sustituir la integral de volumen de la divergencia con los valores de evaluados en la superficie de la celda (bordes y ) del volumen finito de la siguiente manera:
dónde .
Por lo tanto, podemos derivar un esquema numérico semidiscreto para el problema anterior con centros de celda indexados como , y con flujos de borde de celda indexados como , diferenciando ( 6 ) con respecto al tiempo para obtener:
donde los valores de los flujos de borde, , se pueden reconstruir mediante interpolación o extrapolación de los promedios de las celdas. La ecuación ( 7 ) es exacta para los promedios de volumen; es decir, no se han realizado aproximaciones durante su derivación.
Este método también se puede aplicar a una situación 2D considerando las caras norte y sur junto con las caras este y oeste alrededor de un nodo.
También podemos considerar el problema de la ley general de conservación , representado por el siguiente PDE ,
Aquí, representa un vector de estados y representa el tensor de flujo correspondiente . Nuevamente podemos subdividir el dominio espacial en volúmenes o celdas finitos. Para una celda en particular , tomamos la integral de volumen sobre el volumen total de la celda, lo que da,
Al integrar el primer término para obtener el promedio del volumen y aplicar el teorema de la divergencia al segundo, se obtiene
donde representa el área de superficie total de la celda y es un vector unitario normal a la superficie y que apunta hacia afuera. Entonces, finalmente, podemos presentar el resultado general equivalente a ( 8 ), es decir
Nuevamente, los valores de los flujos de borde se pueden reconstruir mediante interpolación o extrapolación de los promedios de las celdas. El esquema numérico real dependerá de la geometría del problema y de la construcción de la malla. La reconstrucción MUSCL se utiliza a menudo en esquemas de alta resolución donde hay shocks o discontinuidades en la solución.
Los esquemas de volumen finito son conservadores ya que los promedios de las celdas cambian a través de los flujos de borde. En otras palabras, ¡la pérdida de una célula es siempre la ganancia de otra !
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