Extrapolación

Método para estimar nuevos datos fuera de los puntos de datos conocidos

En matemáticas , la extrapolación es un tipo de estimación , más allá del rango de observación original, del valor de una variable sobre la base de su relación con otra variable. Es similar a la interpolación , que produce estimaciones entre observaciones conocidas, pero la extrapolación está sujeta a una mayor incertidumbre y un mayor riesgo de producir resultados sin sentido. La extrapolación también puede significar la extensión de un método, suponiendo que se aplicarán métodos similares. La extrapolación también puede aplicarse a la experiencia humana para proyectar, extender o expandir la experiencia conocida en un área no conocida o experimentada previamente para llegar a un conocimiento (generalmente conjetural) de lo desconocido ^[1] (por ejemplo, un conductor extrapola las condiciones de la carretera más allá de su vista mientras conduce). El método de extrapolación se puede aplicar en el problema de reconstrucción interior .

Ejemplo de ilustración del problema de extrapolación, que consiste en asignar un valor significativo en el cuadro azul, en , dados los puntos de datos rojos ${\displaystyle x=7}$

Método

Una elección acertada del método de extrapolación que se va a aplicar se basa en un conocimiento previo del proceso que creó los puntos de datos existentes. Algunos expertos han propuesto el uso de fuerzas causales en la evaluación de los métodos de extrapolación. ^[2] Las preguntas cruciales son, por ejemplo, si se puede suponer que los datos son continuos, uniformes, posiblemente periódicos, etc.

Lineal

La extrapolación lineal implica crear una línea tangente al final de los datos conocidos y extenderla más allá de ese límite. La extrapolación lineal solo proporcionará buenos resultados cuando se utilice para extender el gráfico de una función aproximadamente lineal o no demasiado más allá de los datos conocidos.

Si los dos puntos de datos más cercanos al punto a extrapolar son y , la extrapolación lineal da la función: ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle (x_{k-1},y_{k-1})}$ ${\displaystyle (x_{k},y_{k})}$

${\displaystyle y(x_{*})=y_{k-1}+{\frac {x_{*}-x_{k-1}}{x_{k}-x_{k-1}}}(y_{k}-y_{k-1}).}$

(que es idéntica a la interpolación lineal si ). Es posible incluir más de dos puntos y promediar la pendiente del interpolador lineal, mediante técnicas similares a la regresión , en los puntos de datos elegidos para ser incluidos. Esto es similar a la predicción lineal . ${\displaystyle x_{k-1}<x_{*}<x_{k}}$

Polinomio

Extrapolaciones de Lagrange de la secuencia 1,2,3. La extrapolación por 4 conduce a un polinomio de grado mínimo ( línea cian ).

Se puede crear una curva polinómica a partir de todos los datos conocidos o solo cerca del final (dos puntos para la extrapolación lineal, tres puntos para la extrapolación cuadrática, etc.). La curva resultante se puede extender más allá del final de los datos conocidos. La extrapolación polinómica se realiza normalmente mediante la interpolación de Lagrange o utilizando el método de diferencias finitas de Newton para crear una serie de Newton que se ajuste a los datos. El polinomio resultante se puede utilizar para extrapolar los datos.

La extrapolación polinómica de orden superior debe utilizarse con el debido cuidado. En el caso del conjunto de datos y el problema de ejemplo de la figura anterior, cualquier valor superior al orden 1 (extrapolación lineal) posiblemente genere valores inutilizables; la estimación errónea del valor extrapolado aumentará con el grado de extrapolación polinómica. Esto está relacionado con el fenómeno de Runge .

Cónico

Se puede crear una sección cónica utilizando cinco puntos cerca del final de los datos conocidos. Si la sección cónica creada es una elipse o un círculo , al extrapolarla, se curvará hacia atrás y se volverá a unir consigo misma. Una parábola o hipérbola extrapolada no se volverá a unir consigo misma, pero puede curvarse hacia atrás en relación con el eje X. Este tipo de extrapolación se puede realizar con una plantilla de secciones cónicas (en papel) o con una computadora.

Curva francesa

La extrapolación de curvas francesas es un método adecuado para cualquier distribución que tenga tendencia a ser exponencial, pero con factores de aceleración o desaceleración. ^[3] Este método se ha utilizado con éxito para proporcionar proyecciones de pronóstico del crecimiento del VIH/SIDA en el Reino Unido desde 1987 y de la variante de la ECJ en el Reino Unido durante varios años. Otro estudio ha demostrado que la extrapolación puede producir la misma calidad de resultados de pronóstico que las estrategias de pronóstico más complejas. ^[4]

Extrapolación geométrica con predicción de errores

Se puede crear con 3 puntos de una secuencia y el “momento” o “índice”, este tipo de extrapolación tiene una precisión del 100% en las predicciones en un gran porcentaje de bases de datos de series conocidas (OEIS). ^[5]

Ejemplo de extrapolación con predicción de error:

${\displaystyle {\text{sequence}}=[1,2,3,5]}$

${\displaystyle {f_{1}(x,y)={\frac {x}{y}}}}$

${\displaystyle d_{1}=f_{1}(3,2)}$

${\displaystyle {d_{2}=f_{1}(5,3)}}$

${\displaystyle m={\text{sequence}}(5)}$

${\displaystyle n={\text{sequence}}(3)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{f}}(m,n,d_{1},d_{2})&={\text{round}}\left((n\cdot d_{1}-m)+(m\cdot d_{2})\right)\\&={\text{round}}\left((3\times 1.5-5\right)+(5\times 1.66))=8\end{aligned}}}$

Calidad

Por lo general, la calidad de un método de extrapolación en particular está limitada por las suposiciones que se hacen sobre la función. Si el método supone que los datos son uniformes, entonces una función no uniforme será mal extrapolada.

En términos de series de tiempo complejas, algunos expertos han descubierto que la extrapolación es más precisa cuando se realiza a través de la descomposición de fuerzas causales. ^[6]

Incluso en el caso de suposiciones adecuadas sobre la función, la extrapolación puede divergir gravemente de la función. El ejemplo clásico son las representaciones de series de potencias truncadas de sen( x ) y funciones trigonométricas relacionadas . Por ejemplo, tomando solo datos de cerca de x  = 0, podemos estimar que la función se comporta como sen( x ) ~  x . En la vecindad de x  = 0, esta es una estimación excelente. Sin embargo, lejos de x  = 0, la extrapolación se aleja arbitrariamente del eje x mientras que sen( x ) permanece en el intervalo [−1,  1]. Es decir, el error aumenta sin límite.

Tomar más términos en la serie de potencias de sin( x ) alrededor de x  = 0 producirá una mejor concordancia en un intervalo más grande cerca de x  = 0, pero producirá extrapolaciones que eventualmente divergirán del eje x incluso más rápido que la aproximación lineal.

Esta divergencia es una propiedad específica de los métodos de extrapolación y solo se evita cuando las formas funcionales asumidas por el método de extrapolación (de manera inadvertida o intencional debido a información adicional) representan con precisión la naturaleza de la función que se está extrapolando. Para problemas particulares, esta información adicional puede estar disponible, pero en el caso general, es imposible satisfacer todos los comportamientos posibles de la función con un conjunto de comportamientos potenciales que sea funcionalmente pequeño.

En el plano complejo

En el análisis complejo , un problema de extrapolación puede convertirse en un problema de interpolación mediante el cambio de variable . Esta transformación intercambia la parte del plano complejo dentro del círculo unitario con la parte del plano complejo fuera del círculo unitario. En particular, el punto de compactificación en el infinito se asigna al origen y viceversa. Sin embargo, se debe tener cuidado con esta transformación, ya que la función original puede haber tenido "características", por ejemplo, polos y otras singularidades , en el infinito que no eran evidentes a partir de los datos muestreados. ${\displaystyle {\hat {z}}=1/z}$

Otro problema de extrapolación está relacionado vagamente con el problema de la continuación analítica , en el que (normalmente) una representación de una función en forma de serie de potencias se expande en uno de sus puntos de convergencia para producir una serie de potencias con un radio de convergencia mayor . En efecto, se utiliza un conjunto de datos de una región pequeña para extrapolar una función a una región más grande.

Nuevamente, la continuación analítica puede verse frustrada por características funcionales que no eran evidentes a partir de los datos iniciales.

También se pueden utilizar transformaciones de secuencias como las aproximaciones de Padé y las transformaciones de secuencias de tipo Levin como métodos de extrapolación que conducen a una suma de series de potencias que son divergentes fuera del radio de convergencia original . En este caso, a menudo se obtienen aproximaciones racionales .

Rápido

Los datos extrapolados a menudo se convolucionan a una función kernel. Después de extrapolar los datos, el tamaño de los datos se incrementa N veces, aquí N es aproximadamente 2-3. Si estos datos necesitan ser convolucionados a una función kernel conocida, los cálculos numéricos aumentarán N  log(N) veces incluso con la transformada rápida de Fourier (FFT). Existe un algoritmo que calcula analíticamente la contribución de la parte de los datos extrapolados. El tiempo de cálculo se puede omitir en comparación con el cálculo de convolución original. Por lo tanto, con este algoritmo, los cálculos de una convolución utilizando los datos extrapolados casi no aumentan. Esto se conoce como extrapolación rápida. La extrapolación rápida se ha aplicado a la reconstrucción de imágenes de TC. ^[7]

Argumentos de extrapolación

Los argumentos de extrapolación son argumentos informales y no cuantificados que afirman que algo es probablemente cierto más allá del rango de valores para los que se sabe que es cierto. Por ejemplo, creemos en la realidad de lo que vemos a través de lupas porque coincide con lo que vemos a simple vista pero se extiende más allá de eso; creemos en lo que vemos a través de microscopios ópticos porque coincide con lo que vemos a través de lupas pero se extiende más allá de eso; y lo mismo ocurre con los microscopios electrónicos. Tales argumentos se utilizan ampliamente en biología para extrapolar de estudios animales a humanos y de estudios piloto a una población más amplia. ^[8]

Al igual que los argumentos de pendiente resbaladiza , los argumentos de extrapolación pueden ser fuertes o débiles dependiendo de factores tales como hasta qué punto la extrapolación va más allá del rango conocido. ^[9]

Véase también

• Pronóstico
• Extrapolación polinómica mínima
• Método multigrid
• Sobreajuste
• Intervalo de predicción
• Análisis de regresión
• Extrapolación de Richardson
• Análisis estático
• Estimación de tendencias
• Análisis del dominio de extrapolación
• Estimación de la muerte
• Reconstrucción interior
• Teoría del valor extremo
• Interpolación

Notas

1. Extrapolación, entrada en Merriam–Webster
2. J. Scott Armstrong; Fred Collopy (1993). "Fuerzas causales: estructuración del conocimiento para la extrapolación de series temporales". Journal of Forecasting . 12 (2): 103–115. CiteSeerX  10.1.1.42.40 . doi :10.1002/for.3980120205. S2CID  3233162 . Consultado el 10 de enero de 2012 .
3. Índice principal de AIDSCJDUK.info
4. J. Scott Armstrong (1984). "Predicción por extrapolación: conclusiones de veinticinco años de investigación". Interfaces . 14 (6): 52–66. CiteSeerX 10.1.1.715.6481 . doi :10.1287/inte.14.6.52. S2CID  5805521 . Consultado el 10 de enero de 2012 . 
5. V. Nos (2021). «Probnet: Extrapolación geométrica de secuencias enteras con predicción de errores» . Consultado el 14 de marzo de 2023 .
6. J. Scott Armstrong; Fred Collopy; J. Thomas Yokum (2004). "Descomposición por fuerzas causales: un procedimiento para pronosticar series temporales complejas". Revista internacional de pronósticos . 21 : 25–36. doi :10.1016/j.ijforecast.2004.05.001. S2CID  8816023.
7. Shuangren Zhao; Kang Yang; Xintie Yang (2011). "Reconstrucción a partir de proyecciones truncadas utilizando extrapolaciones mixtas de funciones exponenciales y cuadráticas" (PDF) . Revista de ciencia y tecnología de rayos X . 19 (2): 155–72. doi :10.3233/XST-2011-0284. PMID  21606580. Archivado desde el original (PDF) el 2017-09-29 . Consultado el 2014-06-03 .
8. Steel, Daniel (2007). Más allá de los límites: extrapolación en biología y ciencias sociales. Oxford: Oxford University Press. ISBN 9780195331448.
9. Franklin, James (2013). «Argumentos cuya fuerza depende de la variación continua». Lógica informal . 33 (1): 33–56. doi :10.22329/il.v33i1.3610 . Consultado el 29 de junio de 2021 .

Referencias

• Métodos de extrapolación. Teoría y práctica , C. Brezinski y M. Redivo Zaglia , Holanda Septentrional, 1991.
• Avram Sidi: "Métodos prácticos de extrapolación: teoría y aplicaciones", Cambridge University Press, ISBN 0-521-66159-5 (2003).
• Claude Brezinski y Michela Redivo-Zaglia: "Extrapolación y aproximación racional", Springer Nature, Suiza, ISBN 9783030584177, (2020).