El método de Macaulay.

El método de Macaulay (el método de la doble integración) es una técnica utilizada en análisis estructural para determinar la deflexión de vigas de Euler-Bernoulli . El uso de la técnica de Macaulay es muy conveniente para casos de carga discontinua y/o discreta. Por lo general, con esta técnica se manejan convenientemente cargas parciales uniformemente distribuidas (udl) y cargas uniformemente variables (uvl) a lo largo del tramo y una serie de cargas concentradas.

La primera descripción en inglés del método fue realizada por Macaulay . ^[1] El enfoque actual parece haber sido desarrollado por Clebsch en 1862. ^[2] El método de Macaulay se ha generalizado para vigas Euler-Bernoulli con compresión axial, ^[3] para vigas Timoshenko , ^[4] para cimentaciones elásticas, ^[5] y a problemas en los que la rigidez a flexión y cortante cambia de forma discontinua en una viga. ^[6]

Método

El punto de partida es la relación de la teoría del haz de Euler-Bernoulli.

${\displaystyle \pm EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}=M}$

¿Dónde está la deflexión y el momento flector? Esta ecuación ^[7] es más simple que la ecuación de la viga de cuarto orden y se puede integrar dos veces para encontrar si se conoce el valor de en función de . Para cargas generales, se puede expresar en la forma ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M=M_{1}(x)+P_{1}\langle x-a_{1}\rangle +P_{2}\langle x-a_{2}\rangle +P_{3}\langle x-a_{3}\rangle +\dots }$

donde las cantidades representan los momentos de flexión debidos a cargas puntuales y la cantidad es un soporte de Macaulay definido como ${\displaystyle P_{i}\langle x-a_{i}\rangle }$ ${\displaystyle \langle x-a_{i}\rangle }$

${\displaystyle \langle x-a_{i}\rangle ={\begin{cases}0&\mathrm {if} ~x<a_{i}\\x-a_{i}&\mathrm {if} ~x>a_{i}\end{cases}}}$

Normalmente, al integrar obtenemos ${\displaystyle P(x-a)}$

${\displaystyle \int P(x-a)~dx=P\left[{\cfrac {x^{2}}{2}}-ax\right]+C}$

Sin embargo, al integrar expresiones que contienen corchetes de Macaulay, tenemos

${\displaystyle \int P\langle x-a\rangle ~dx=P{\cfrac {\langle x-a\rangle ^{2}}{2}}+C_{m}}$

con la diferencia entre las dos expresiones contenida en la constante . El uso de estas reglas de integración simplifica el cálculo de la deflexión de vigas Euler-Bernoulli en situaciones en las que existen múltiples cargas puntuales y momentos puntuales. El método de Macaulay es anterior a conceptos más sofisticados como las funciones delta de Dirac y las funciones escalonadas , pero logra los mismos resultados para los problemas de vigas. ${\displaystyle C_{m}}$

Ejemplo: viga simplemente apoyada con carga puntual

Viga simplemente apoyada con una única carga concentrada excéntrica.

Una ilustración del método Macaulay considera una viga simplemente apoyada con una sola carga concentrada excéntrica como se muestra en la figura adyacente. El primer paso es encontrar . Las reacciones en los soportes A y C se determinan a partir del equilibrio de fuerzas y momentos como ${\displaystyle M}$

${\displaystyle R_{A}+R_{C}=P,~~LR_{C}=Pa}$

Por lo tanto, y el momento flector en un punto D entre A y B ( ) está dado por ${\displaystyle R_{A}=Pb/L}$ ${\displaystyle 0<x<a}$

${\displaystyle M=R_{A}x=Pbx/L}$

Usando la relación momento-curvatura y la expresión de Euler-Bernoulli para el momento flector, tenemos

${\displaystyle EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\dfrac {Pbx}{L}}}$

Integrando la ecuación anterior obtenemos, para , ${\displaystyle 0<x<a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&={\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}+C_{1}&&\quad \mathrm {(i)} \\EIw&={\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}+C_{1}x+C_{2}&&\quad \mathrm {(ii)} \end{aligned}}}$

En ${\displaystyle x=a_{-}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}(a_{-})&={\dfrac {Pba^{2}}{2L}}+C_{1}&&\quad \mathrm {(iii)} \\EIw(a_{-})&={\dfrac {Pba^{3}}{6L}}+C_{1}a+C_{2}&&\quad \mathrm {(iv)} \end{aligned}}}$

Para un punto D en la región BC ( ), el momento flector es ${\displaystyle a<x<L}$

${\displaystyle M=R_{A}x-P(x-a)=Pbx/L-P(x-a)}$

En el enfoque de Macaulay utilizamos la forma de corchete de Macaulay de la expresión anterior para representar el hecho de que se ha aplicado una carga puntual en la ubicación B, es decir,

${\displaystyle M={\frac {Pbx}{L}}-P\langle x-a\rangle }$

Por lo tanto, la ecuación del haz de Euler-Bernoulli para esta región tiene la forma

${\displaystyle EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\dfrac {Pbx}{L}}-P\langle x-a\rangle }$

Integrando la ecuación anterior, obtenemos para ${\displaystyle a<x<L}$

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&={\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}-P{\cfrac {\langle x-a\rangle ^{2}}{2}}+D_{1}&&\quad \mathrm {(v)} \\EIw&={\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}-P{\cfrac {\langle x-a\rangle ^{3}}{6}}+D_{1}x+D_{2}&&\quad \mathrm {(vi)} \end{aligned}}}$

En ${\displaystyle x=a_{+}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}(a_{+})&={\dfrac {Pba^{2}}{2L}}+D_{1}&&\quad \mathrm {(vii)} \\EIw(a_{+})&={\dfrac {Pba^{3}}{6L}}+D_{1}a+D_{2}&&\quad \mathrm {(viii)} \end{aligned}}}$

Comparando las ecuaciones (iii) y (vii) y (iv) y (viii) notamos que debido a la continuidad en el punto B, y . La observación anterior implica que para las dos regiones consideradas, aunque la ecuación para el momento flector y por tanto para la curvatura son diferentes, las constantes de integración obtenidas durante la integración sucesiva de la ecuación para la curvatura para las dos regiones son las mismas. ${\displaystyle C_{1}=D_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}=D_{2}}$

El argumento anterior es válido para cualquier número o tipo de discontinuidades en las ecuaciones de curvatura, siempre que en cada caso la ecuación conserve el término para la región siguiente en la forma, etc. Debe recordarse que para cualquier x, al dar las cantidades dentro los corchetes, como en el caso anterior, -ve deben despreciarse y los cálculos deben realizarse considerando sólo las cantidades que dan el signo +ve para los términos dentro de los corchetes. ${\displaystyle \langle x-a\rangle ^{n},\langle x-b\rangle ^{n},\langle x-c\rangle ^{n}}$

Volviendo al problema, tenemos

${\displaystyle EI{\dfrac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\dfrac {Pbx}{L}}-P\langle x-a\rangle }$

Es obvio que sólo se debe considerar el primer término y tanto los términos como la solución son ${\displaystyle x<a}$ ${\displaystyle x>a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&=\left[{\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}+C_{1}\right]-{\cfrac {P\langle x-a\rangle ^{2}}{2}}\\EIw&=\left[{\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}+C_{1}x+C_{2}\right]-{\cfrac {P\langle x-a\rangle ^{3}}{6}}\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que las constantes se colocan inmediatamente después del primer término para indicar que van con el primer término cuando y con ambos términos cuando . Los corchetes de Macaulay sirven como recordatorio de que la cantidad de la derecha es cero cuando se consideran puntos con . ${\displaystyle x<a}$ ${\displaystyle x>a}$ ${\displaystyle x<a}$

Condiciones de borde

Como en , . Además, como en , ${\displaystyle w=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle C2=0}$ ${\displaystyle w=0}$ ${\displaystyle x=L}$

${\displaystyle \left[{\dfrac {PbL^{2}}{6}}+C_{1}L\right]-{\cfrac {P(L-a)^{3}}{6}}=0}$

o,

${\displaystyle C_{1}=-{\cfrac {Pb}{6L}}(L^{2}-b^{2})~.}$

Por eso,

${\displaystyle {\begin{aligned}EI{\dfrac {dw}{dx}}&=\left[{\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}-{\cfrac {Pb}{6L}}(L^{2}-b^{2})\right]-{\cfrac {P\langle x-a\rangle ^{2}}{2}}\\EIw&=\left[{\dfrac {Pbx^{3}}{6L}}-{\cfrac {Pbx}{6L}}(L^{2}-b^{2})\right]-{\cfrac {P\langle x-a\rangle ^{3}}{6}}\end{aligned}}}$

Deflexión máxima

Para ser máximo, . Suponiendo que esto suceda porque tenemos ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle dw/dx=0}$ ${\displaystyle x<a}$

${\displaystyle {\dfrac {Pbx^{2}}{2L}}-{\cfrac {Pb}{6L}}(L^{2}-b^{2})=0}$

o

${\displaystyle x=\pm {\cfrac {(L^{2}-b^{2})^{1/2}}{\sqrt {3}}}}$

Claramente no puede ser una solución. Por lo tanto, la deflexión máxima está dada por ${\displaystyle x<0}$

${\displaystyle EIw_{\mathrm {max} }={\cfrac {1}{3}}\left[{\dfrac {Pb(L^{2}-b^{2})^{3/2}}{6{\sqrt {3}}L}}\right]-{\cfrac {Pb(L^{2}-b^{2})^{3/2}}{6{\sqrt {3}}L}}}$

o,

${\displaystyle w_{\mathrm {max} }=-{\dfrac {Pb(L^{2}-b^{2})^{3/2}}{9{\sqrt {3}}EIL}}~.}$

Deflexión en el punto de aplicación de la carga

En , es decir, en el punto B, la deflexión es ${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle EIw_{B}={\dfrac {Pba^{3}}{6L}}-{\cfrac {Pba}{6L}}(L^{2}-b^{2})={\frac {Pba}{6L}}(a^{2}+b^{2}-L^{2})}$

o

${\displaystyle w_{B}=-{\cfrac {Pa^{2}b^{2}}{3LEI}}}$

Deflexión en el punto medio

Es instructivo examinar la proporción de . En ${\displaystyle w_{\mathrm {max} }/w(L/2)}$ ${\displaystyle x=L/2}$

${\displaystyle EIw(L/2)={\dfrac {PbL^{2}}{48}}-{\cfrac {Pb}{12}}(L^{2}-b^{2})=-{\frac {Pb}{12}}\left[{\frac {3L^{2}}{4}}-b^{2}\right]}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\frac {w_{\mathrm {max} }}{w(L/2)}}={\frac {4(L^{2}-b^{2})^{3/2}}{3{\sqrt {3}}L\left[{\frac {3L^{2}}{4}}-b^{2}\right]}}={\frac {4(1-{\frac {b^{2}}{L^{2}}})^{3/2}}{3{\sqrt {3}}\left[{\frac {3}{4}}-{\frac {b^{2}}{L^{2}}}\right]}}={\frac {16(1-k^{2})^{3/2}}{3{\sqrt {3}}\left(3-4k^{2}\right)}}}$

donde y para . Incluso cuando la carga está tan cerca como 0,05 L del soporte, el error al estimar la deflexión es sólo del 2,6%. Por lo tanto, en la mayoría de los casos la estimación de la deflexión máxima puede hacerse con bastante precisión y con un margen de error razonable calculando la deflexión en el centro. ${\displaystyle k=B/L}$ ${\displaystyle a<b;0<k<0.5}$

Caso especial de carga aplicada simétricamente

Cuando , para ser máximo ${\displaystyle a=b=L/2}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle x={\cfrac {[L^{2}-(L/2)^{2}]^{1/2}}{\sqrt {3}}}={\frac {L}{2}}}$

y la deflexión máxima es

${\displaystyle w_{\mathrm {max} }=-{\dfrac {P(L/2)b[L^{2}-(L/2)^{2}]^{3/2}}{9{\sqrt {3}}EIL}}=-{\frac {PL^{3}}{48EI}}=w(L/2)~.}$

Referencias

1. WH Macaulay, "Una nota sobre la deflexión de vigas", Messenger of Mathematics, 48 ​​(1919), 129.
2. JT Weissenburger, 'Integración de expresiones discontinuas que surgen en la teoría de haces', AIAA Journal, 2(1) (1964), 106-108.
3. WH Wittrick , "Una generalización del método de Macaulay con aplicaciones en mecánica estructural", AIAA Journal, 3(2) (1965), 326–330.
4. A. Yavari, S. Sarkani y JN Reddy, 'Sobre vigas no uniformes de Euler-Bernoulli y Timoshenko con discontinuidades de salto: aplicación de la teoría de la distribución', Revista Internacional de Sólidos y Estructuras, 38 (46–7) (2001), 8389– 8406.
5. A. Yavari, S. Sarkani y JN Reddy, 'Soluciones generalizadas de vigas con discontinuidades de salto sobre cimentaciones elásticas', Archive of Applied Mechanics, 71(9) (2001), 625–639.
6. Stephen, NG, (2002), "Método de Macaulay para una viga de Timoshenko", Int. J. Mech. Ing. Educación, 35(4), págs. 286-292.
7. El signo en el lado izquierdo de la ecuación depende de la convención que se utilice. En el resto de este artículo asumiremos que la convención de signos es tal que un signo positivo es apropiado.

Ver también

• Teoría del haz
• Doblar
• Momento de flexión
• función de singularidad
• Diagrama de corte y momento.
• Teoría del haz de Timoshenko