En matemáticas , el método de la órbita (también conocido como teoría de Kirillov , método de las órbitas coadjuntas y por algunos nombres similares) establece una correspondencia entre representaciones unitarias irreductibles de un grupo de Lie y sus órbitas coadjuntas : órbitas de la acción del grupo sobre el espacio dual de su álgebra de Lie . La teoría fue introducida por Kirillov (1961, 1962) para grupos nilpotentes y posteriormente ampliada por Bertram Kostant , Louis Auslander , Lajos Pukánszky y otros al caso de grupos solubles . Roger Howe encontró una versión del método de la órbita que se aplica a grupos de Lie p -ádicos. [1] David Vogan propuso que el método de la órbita debería servir como principio unificador en la descripción de los duales unitarios de grupos de Lie reductivos reales. [2]
Una de las observaciones clave de Kirillov fue que las órbitas coadjuntas de un grupo de Lie G tienen una estructura natural de variedades simplécticas cuya estructura simpléctica es invariante bajo G. Si una órbita es el espacio de fases de un sistema mecánico clásico invariante G, entonces el sistema mecánico cuántico correspondiente debería describirse mediante una representación unitaria irreducible de G. Las invariantes geométricas de la órbita se traducen en invariantes algebraicas de la representación correspondiente. De esta manera, el método de la órbita puede verse como una manifestación matemática precisa de un vago principio físico de cuantificación. En el caso de un grupo nilpotente G, la correspondencia involucra todas las órbitas, pero para un G general son necesarias restricciones adicionales en la órbita (polarizabilidad, integralidad, condición de Pukánszky). Kostant ha avanzado significativamente este punto de vista en su teoría de la cuantificación geométrica de órbitas coadjuntas.
Para un grupo de Lie , el método de la órbita de Kirillov proporciona un método heurístico en la teoría de la representación . Conecta las transformadas de Fourier de órbitas coadjuntas , que se encuentran en el espacio dual del álgebra de Lie de G , con los caracteres infinitesimales de las representaciones irreducibles . El método debe su nombre al matemático ruso Alexandre Kirillov .
En su forma más simple, establece que un carácter de un grupo de Lie puede venir dado por la transformada de Fourier de la función delta de Dirac apoyada en las órbitas coadjuntas, ponderada por la raíz cuadrada del jacobiano del mapa exponencial , denotado por . No se aplica a todos los grupos de Lie, pero funciona para varias clases de grupos de Lie conectados , incluidos los nilpotentes , algunos grupos semisimples y grupos compactos .
Sea G un grupo de Lie nilpotente conexo y simplemente conexo . Kirillov demostró que las clases de equivalencia de representaciones unitarias irreducibles de G están parametrizadas por las órbitas coadjuntas de G , es decir, las órbitas de la acción G en el espacio dual de su álgebra de Lie. La fórmula del carácter de Kirillov expresa el carácter Harish-Chandra de la representación como una determinada integral sobre la órbita correspondiente.
Se han clasificado por completo representaciones complejas irreductibles de grupos compactos de Lie . Siempre son de dimensión finita, unitarizables (es decir, admiten una forma hermitiana definida positiva invariante ) y están parametrizados por sus pesos más altos , que son precisamente los pesos integrales dominantes del grupo. Si G es un grupo de Lie semisimple compacto con una subálgebra de Cartan h entonces sus órbitas coadjuntas son cerradas y cada una de ellas corta la cámara de Weyl positiva h * + en un solo punto. Una órbita es integral si este punto pertenece a la red de pesos de G. La teoría del peso más alto se puede reformular en forma de una biyección entre el conjunto de órbitas coadjuntas integrales y el conjunto de clases de equivalencia de representaciones unitarias irreducibles de G : la representación de peso más alto L ( λ ) con el peso más alto λ ∈ h * + corresponde a la órbita coadjunta integral G · λ . La fórmula del carácter de Kirillov equivale a la fórmula del carácter demostrada anteriormente por Harish-Chandra .
