Loterías máximas

Método probabilístico de Condorcet

Las loterías máximas se refieren a una regla de votación probabilística . El método utiliza papeletas preferenciales y devuelve una distribución de probabilidad (o combinación lineal ) de candidatos que una mayoría de votantes preferiría débilmente a cualquier otro. ^[1]

Las loterías máximas satisfacen una amplia gama de propiedades deseables: eligen al ganador de Condorcet con probabilidad 1 si existe ^[1] y nunca eligen candidatos fuera del conjunto de Smith . ^[1] Además, satisfacen el reforzamiento , ^[2] la participación , ^[3] y la independencia de los clones . ^[2] La regla de votación probabilística que devuelve todas las loterías máximas es la única regla que satisface el reforzamiento, la consistencia de Condorcet y la independencia de los clones. ^[2] La función de bienestar social que clasifica a las loterías máximas se ha caracterizado de forma única utilizando la independencia de alternativas irrelevantes de Arrow y la eficiencia de Pareto . ^[4]

Las loterías máximas no satisfacen la noción estándar de estrategia a prueba, como Allan Gibbard ha demostrado que sólo las dictaduras aleatorias pueden satisfacer la estrategia a prueba y la eficiencia ex post. ^[5] Las loterías máximas también son no monótonas en probabilidades, es decir, es posible que la probabilidad de una alternativa disminuya cuando un votante clasifica esta alternativa hacia arriba. ^[1] Sin embargo, satisfacen la monotonía relativa, es decir, la probabilidad de relativa a la de no disminuye cuando se mejora con respecto a . ^[6] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

El apoyo de las loterías máximas, lo que se conoce como el conjunto esencial o elEl conjunto bipartidista ha sido estudiado en detalle.^{[7][8][9][10]}

Historia

Las loterías máximas fueron propuestas por primera vez por el matemático y científico social francés Germain Kreweras en 1965 ^[11] y popularizadas por Peter Fishburn ^[1] . Desde entonces, han sido redescubiertas varias veces por economistas, ^[8] matemáticos, ^{[1] [12]} politólogos, filósofos ^[13] y científicos informáticos. ^[14]

Se han observado varias dinámicas naturales que convergen hacia loterías máximas en biología, física, química y aprendizaje automático. ^{[15] [16] [17]}

Preferencias colectivas sobre las loterías

La entrada a este sistema de votación consiste en las preferencias ordinales de los agentes sobre los resultados (no loterías sobre alternativas), pero se puede construir una relación sobre el conjunto de loterías de la siguiente manera: si y son loterías sobre alternativas, si el valor esperado del margen de victoria de un resultado seleccionado con distribución en una votación cara a cara contra un resultado seleccionado con distribución es positivo. En otras palabras, si es más probable que un votante seleccionado aleatoriamente prefiera las alternativas muestreadas de a la alternativa muestreada de que viceversa. ^[4] Si bien esta relación no es necesariamente transitiva, siempre admite al menos un elemento maximal. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\succ q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p\succ q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Es posible que existan varias loterías máximas de este tipo, como resultado de los empates. Sin embargo, la lotería máxima es única siempre que el número de votantes sea impar. ^[18] Por el mismo argumento, el conjunto bipartidista se define de manera única tomando el apoyo de la lotería máxima única que resuelve un juego de torneo. ^[8]

Interpretación estratégica

Las loterías máximas son equivalentes a estrategias maximin mixtas (o equilibrios de Nash ) del juego simétrico de suma cero dado por los márgenes de mayoría por pares. Como tales, tienen una interpretación natural en términos de competencia electoral entre dos partidos políticos ^[19] y pueden ser calculadas en tiempo polinomial mediante [programación lineal].

Ejemplo

Supongamos que hay cinco votantes que tienen las siguientes preferencias sobre tres alternativas:

• 2 votantes: ${\displaystyle a\succ b\succ c}$
• 2 votantes: ${\displaystyle b\succ c\succ a}$
• 1 votante: ${\displaystyle c\succ a\succ b}$

Las preferencias por pares de los votantes se pueden representar en la siguiente matriz antisimétrica , donde la entrada para la fila y la columna denota el número de votantes que prefieren menos el número de votantes que prefieren . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{matrix}&&a\quad &b\quad &c\quad \\\end{matrix}}\\{\begin{matrix}a\\b\\c\\\end{matrix}}{\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&0&3\\1&-3&0\\\end{pmatrix}}\end{matrix}}}$

Esta matriz puede interpretarse como un juego de suma cero y admite un único equilibrio de Nash (o estrategia minimax ) donde , , . Por definición, esta es también la lotería máxima única del perfil de preferencia anterior. El ejemplo fue elegido cuidadosamente para no tener un ganador de Condorcet . Muchos perfiles de preferencia admiten un ganador de Condorcet, en cuyo caso la lotería máxima única asignará probabilidad 1 al ganador de Condorcet. Si el último votante en el ejemplo anterior intercambia alternativas y en su relación de preferencia, se convierte en el ganador de Condorcet y será seleccionado con probabilidad 1. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p(a)=3/5}$ ${\displaystyle p(b)=1/5}$ ${\displaystyle p(c)=1/5}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$

Referencias

1. PC Fishburn. Elección social probabilística basada en comparaciones de votaciones simples . Review of Economic Studies, 51(4):683–692, 1984.
2. F. Brandl, F. Brandt y HG Seedig. Elección social probabilística consistente. Econometrica. 84(5), páginas 1839-1880, 2016.
3. F. Brandl, F. Brandt y J. Hofbauer. La maximización del bienestar incita a la participación. Juegos y comportamiento económico. 14, páginas 308-314, 2019.
4. F. Brandl y F. Brandt. Agregación arroviana de preferencias convexas. Econometrica. 88(2), páginas 799-844, 2020.
5. Gibbard, Allan (1977). "Manipulación de esquemas que mezclan votación y azar". Econometrica . 45 (3): 665–681. doi :10.2307/1911681. hdl : 10419/220534 . ISSN  0012-9682. JSTOR  1911681.
6. Brandl, Florian; Brandt, Felix; Stricker, Christian (1 de enero de 2022). "Una comparación analítica y experimental de esquemas de lotería máxima". Elección social y bienestar . 58 (1): 5–38. doi :10.1007/s00355-021-01326-x. hdl : 10419/286729 . ISSN  1432-217X.
7. B. Dutta y J.-F. Laslier. Funciones de comparación y correspondencias de elección . Social Choice and Welfare, 16: 513–532, 1999.
8. G. Laffond, J.-F. Laslier y M. Le Breton. El conjunto bipartidista de un juego de torneo . Juegos y comportamiento económico, 5(1):182–201, 1993.
9. Laslier, J.-F. Soluciones de torneo y votación por mayoría Springer-Verlag, 1997.
10. F. Brandt, M. Brill, HG Seedig y W. Suksompong. Sobre la estructura de soluciones de torneos estables . Teoría económica, 65(2):483–507, 2018.
11. G. Kreweras. Agregación de ordenamientos de preferencias . En Matemáticas y Ciencias Sociales I: Actas de los seminarios de Menthon-Saint-Bernard, Francia (1–27 de julio de 1960) y de Gösing, Austria (3–27 de julio de 1962), páginas 73–79, 1965.
12. DC Fisher y J. Ryan. Juegos de torneo y torneos positivos . Journal of Graph Theory, 19(2):217–236, 1995.
13. DS Felsenthal y M. Machover. ¿Se debería implementar el procedimiento de votación de Condorcet después de dos siglos? Behavioral Science, 37(4):250–274, 1992.
14. RL Rivest y E. Shen. Un sistema óptimo de votación preferencial con un solo ganador basado en la teoría de juegos . En Actas del 3.er Taller Internacional sobre Elección Social Computacional, páginas 399-410, 2010.
15. B. Laslier y J.-F. Laslier. Aprendizaje por refuerzo a partir de comparaciones: tres alternativas son suficientes, dos no . Annals of Applied Probability 27(5): 2907–2925, 2017.
16. Jacopo Grilli, György Barabás, Matthew J. Michalska-Smith y Stefano Allesina. Las interacciones de orden superior estabilizan la dinámica en los modelos de redes competitivas . Nature 548: 210-214, 2017.
17. F. Brandl y F. Brandt. Un proceso adaptativo natural para la toma de decisiones colectivas. Economía teórica 19(2): 667–703, 2024.
18. Gilbert Laffond, Jean-François Laslier y Michel Le Breton Un teorema sobre juegos simétricos de suma cero entre dos jugadores . Journal of Economic Theory 72: 426–431, 1997.
19. Laslier, J.-F. Interpretación de estrategias electorales mixtas . Social Choice and Welfare 17: páginas 283–292, 2000.

Enlaces externos

• voting.ml (sitio web para calcular loterías máximas)