Análisis del lugar de las raíces

Criterio de estabilidad en la teoría de control

Espirula

En teoría de control y teoría de estabilidad , el análisis del lugar de las raíces es un método gráfico para examinar cómo cambian las raíces de un sistema con la variación de un determinado parámetro del sistema , comúnmente una ganancia dentro de un sistema de retroalimentación . Esta es una técnica utilizada como criterio de estabilidad en el campo de la teoría de control clásica desarrollada por Walter R. Evans, que puede determinar la estabilidad del sistema. El lugar de las raíces traza los polos de la función de transferencia de bucle cerrado en el plano s complejo como una función de un parámetro de ganancia (ver gráfico de polos y ceros ).

Evans también inventó en 1948 una computadora analógica para calcular los lugares de las raíces, llamada "Spirule" (de "espiral" y " regla de cálculo "); encontró un amplio uso antes de la llegada de las computadoras digitales . ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]}

Usos

Efecto de la ubicación de los polos en la frecuencia natural y la relación de amortiguamiento de un sistema de segundo orden. No se muestra el conjugado complejo de este polo (que necesariamente existe ya que este polo tiene un componente imaginario distinto de cero).

Además de determinar la estabilidad del sistema, el lugar de las raíces se puede utilizar para diseñar la relación de amortiguamiento ( ζ ) y la frecuencia natural ( ω _n ) de un sistema de retroalimentación. Se pueden dibujar líneas de relación de amortiguamiento constante radialmente desde el origen y se pueden dibujar líneas de frecuencia natural constante como arcocoseno cuyos puntos centrales coinciden con el origen. Al seleccionar un punto a lo largo del lugar de las raíces que coincida con una relación de amortiguamiento y una frecuencia natural deseadas, se puede calcular una ganancia K e implementarla en el controlador. En la mayoría de los libros de texto de control se encuentran disponibles técnicas más elaboradas de diseño de controladores que utilizan el lugar de las raíces: por ejemplo, los controladores de retraso, adelanto , PI, PD y PID se pueden diseñar aproximadamente con esta técnica.

La definición del coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia natural presupone que el sistema de retroalimentación general se aproxima bien a un sistema de segundo orden; es decir, el sistema tiene un par de polos dominante. Esto no suele ser así, por lo que es una buena práctica simular el diseño final para comprobar si se cumplen los objetivos del proyecto.

Definición

El lugar de las raíces de un sistema de realimentación es la representación gráfica en el plano complejo s de las posibles ubicaciones de sus polos de lazo cerrado para valores variables de un determinado parámetro del sistema. Los puntos que forman parte del lugar de las raíces satisfacen la condición de ángulo. El valor del parámetro para un determinado punto del lugar de las raíces se puede obtener utilizando la condición de magnitud .

Supongamos que hay un sistema de retroalimentación con señal de entrada y señal de salida . La función de transferencia de la ruta de avance es ; la función de transferencia de la ruta de retroalimentación es . ${\displaystyle X(s)}$ ${\displaystyle Y(s)}$ ${\displaystyle G(s)}$ ${\displaystyle H(s)}$

Para este sistema, la función de transferencia de bucle cerrado está dada por ^[10]

${\displaystyle T(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}}$

Por lo tanto, los polos de bucle cerrado de la función de transferencia de bucle cerrado son las raíces de la ecuación característica . Las raíces de esta ecuación se pueden encontrar dondequiera que . ${\displaystyle 1+G(s)H(s)=0}$ ${\displaystyle 1+G(s)H(s)=0}$

En sistemas sin retardo puro, el producto es una función polinómica racional y puede expresarse como ^[11] ${\displaystyle G(s)H(s)}$

${\displaystyle G(s)H(s)=K{\frac {(s+z_{1})(s+z_{2})\cdots (s+z_{m})}{(s+p_{1})(s+p_{2})\cdots (s+p_{n})}}}$

donde son los ceros , son los polos y es una ganancia escalar. Normalmente, un diagrama del lugar de las raíces indicará las ubicaciones de los polos de la función de transferencia para valores variables del parámetro . Un diagrama del lugar de las raíces serán todos aquellos puntos en el plano s donde para cualquier valor de . ${\displaystyle -z_{i}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle -p_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G(s)H(s)=-1}$ ${\displaystyle K}$

La factorización y el uso de monomios simples significa que la evaluación del polinomio racional se puede realizar con técnicas vectoriales que suman o restan ángulos y multiplican o dividen magnitudes. La formulación vectorial surge del hecho de que cada término monomial en el factorizado representa el vector de a en el plano s. El polinomio se puede evaluar considerando las magnitudes y los ángulos de cada uno de estos vectores. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (s-a)}$ ${\displaystyle G(s)H(s)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle s}$

Según las matemáticas vectoriales, el ángulo del resultado del polinomio racional es la suma de todos los ángulos del numerador menos la suma de todos los ángulos del denominador. Por lo tanto, para comprobar si un punto del plano s está en el lugar geométrico de las raíces, solo es necesario considerar los ángulos de todos los polos y ceros de bucle abierto. Esto se conoce como la condición del ángulo.

De manera similar, la magnitud del resultado del polinomio racional es el producto de todas las magnitudes del numerador dividido por el producto de todas las magnitudes del denominador. Resulta que no es necesario el cálculo de la magnitud para determinar si un punto en el plano s es parte del lugar de las raíces porque varía y puede tomar un valor real arbitrario. Para cada punto del lugar de las raíces se puede calcular un valor de . Esto se conoce como la condición de magnitud. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

El lugar de las raíces solo proporciona la ubicación de los polos de bucle cerrado a medida que varía la ganancia. El valor de no afecta la ubicación de los ceros. Los ceros de bucle abierto son los mismos que los de bucle cerrado. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Condición de ángulo

Un punto del plano complejo s satisface la condición de ángulo si ${\displaystyle s}$

${\displaystyle \angle (G(s)H(s))=\pi }$

Lo cual es lo mismo que decir que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\angle (s+z_{i})-\sum _{i=1}^{n}\angle (s+p_{i})=\pi }$

es decir, la suma de los ángulos desde los ceros de bucle abierto hasta el punto (medidos por cero con respecto a una horizontal que pasa por ese cero) menos los ángulos desde los polos de bucle abierto hasta el punto (medidos por polo con respecto a una horizontal que pasa por ese polo) tiene que ser igual a , o 180 grados . Tenga en cuenta que estas interpretaciones no deben confundirse con las diferencias de ángulos entre el punto y los ceros/polos. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle s}$

Condición de magnitud

Un valor de satisface la condición de magnitud para un punto dado del lugar de las raíces si ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle |G(s)H(s)|=1}$

Lo cual es lo mismo que decir que

${\displaystyle K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1}$.

Dibujo del lugar de las raíces

RL = lugar de las raíces; ZARL = lugar de las raíces de ángulo cero

Utilizando algunas reglas básicas, el método del lugar de las raíces puede representar gráficamente la forma general del camino (lugar geométrico) recorrido por las raíces a medida que varía el valor de . El gráfico del lugar geométrico de las raíces da entonces una idea de la estabilidad y la dinámica de este sistema de retroalimentación para diferentes valores de . ^{[12] [13]} Las reglas son las siguientes: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

• Marcar polos y ceros de lazo abierto
• Marcar la porción del eje real a la izquierda de un número impar de polos y ceros
• Encontrar asíntotas

Sea P el número de polos y Z el número de ceros:

${\displaystyle P-Z={\text{number of asymptotes}}\,}$

Las asíntotas intersecan el eje real en (que se llama centroide) y parten en un ángulo dado por: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi _{l}={\frac {180^{\circ }+(l-1)360^{\circ }}{P-Z}},l=1,2,\ldots ,P-Z}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {\operatorname {Re} \left(\sum _{P}-\sum _{Z}\right)}{P-Z}}}$

donde es la suma de todas las ubicaciones de los polos, es la suma de todas las ubicaciones de los ceros explícitos y denota que solo nos interesa la parte real. ${\displaystyle \sum _{P}}$ ${\displaystyle \sum _{Z}}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} ()}$

• Condición de fase en el punto de prueba para encontrar el ángulo de salida
• Calcular puntos de entrada y salida

Los puntos de ruptura se encuentran en las raíces de la siguiente ecuación:

${\displaystyle {\frac {dG(s)H(s)}{ds}}=0{\text{ or }}{\frac {d{\overline {GH}}(z)}{dz}}=0}$

Una vez que se resuelve z , las raíces reales proporcionan los puntos de ruptura/reentrada. Las raíces complejas corresponden a la falta de ruptura/reentrada.

Trazado del lugar de las raíces

Dado el polinomio racional con denominador de bucle cerrado general

${\displaystyle 1+G(s)H(s)=1+K{\frac {b_{m}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}},}$

La ecuación característica se puede simplificar a

${\displaystyle s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +(a_{m}+Kb_{m})s^{m}+\ldots +(a_{1}+Kb_{1})s+(a_{0}+Kb_{0})=0.}$

Las soluciones de esta ecuación son los lugares de las raíces de la función de transferencia de bucle cerrado. ${\displaystyle s}$

Ejemplo

Dado

${\displaystyle 1+G(s)H(s)=1+K{\frac {s+3}{s^{3}+3s^{2}+5s+1}},}$

tendremos la ecuación característica

${\displaystyle s^{3}+3s^{2}+(5+K)s+(1+3K)=0.}$

El siguiente código MATLAB trazará el lugar de las raíces de la función de transferencia de bucle cerrado como varía utilizando el método manual descrito así como la función incorporada: ${\displaystyle K}$rlocus

% Método manual K_array = ( 0 : 0.1 : 220 ). ' ; % .' es una transposición. Buscando en la documentación de Matlab. NK = length ( K_array ); x_array = zeros ( NK , 3 ); y_array = zeros ( NK , 3 );           para nK = 1 : NK K = matriz_K ( nK ); C = [ 1 , 3 , ( 5 + K ), ( 1 + 3 * K )]; r = raíces ( C ). ' ; matriz_x ( nK ,:) = real ( r ); matriz_y ( nK ,:) = imag ( r ); fin                         figura (); gráfico ( matriz_x , matriz_y ); cuadrícula en ;  % Método incorporado sys = tf ([ 1 , 3 ], [ 1 , 3 , 5 , 1 ]); figura (); rlocus ( sys );       

Diagrama del lugar de las raíces

El siguiente código Python también se puede utilizar para calcular y trazar el lugar de las raíces de la función de transferencia de bucle cerrado utilizando la biblioteca de sistemas de control Python ^[14] y Matplotlib ^[15] .

 control  de importaciones como  ctimportar  matplotlib.pyplot  como  plt# Definir la función de transferenciasys  =  ct .FunciónTransferencia ( [ 1 , 3 ], [ 1 , 3 , 5 , 1 ])     # Calcular y graficar el lugar de las raícesraíces ,  ganancias  =  ct.root_locus ( sys , plot = True )​​ plt . mostrar ()

el-avión versuss-avión

El método del lugar de las raíces también se puede utilizar para el análisis de sistemas de datos muestreados calculando el lugar de las raíces en el plano z , la contraparte discreta del plano s . La ecuación z  =  e ^sT mapea polos continuos del plano s (no ceros) en el dominio z , donde T es el período de muestreo. El semiplano s estable izquierdo se mapea en el interior del círculo unitario del plano z , con el origen del plano s igual a |z|  = 1 (porque  e ⁰  = 1). Una línea diagonal de amortiguamiento constante en el plano s se mapea alrededor de una espiral desde (1,0) en el plano z a medida que se curva hacia el origen. El criterio de aliasing de Nyquist se expresa gráficamente en el plano z por el eje x , donde ωnT  =  π . La línea de amortiguamiento constante que se acaba de describir se espiraliza indefinidamente pero en sistemas de datos muestreados, el contenido de frecuencia se alias hacia frecuencias más bajas por múltiplos enteros de la frecuencia de Nyquist . Es decir, la respuesta muestreada aparece como una frecuencia más baja y mejor amortiguada también, ya que la raíz en el plano z se asigna igualmente bien al primer bucle de una curva espiral diferente, mejor amortiguada, de amortiguamiento constante. Se pueden describir muchas otras propiedades de asignación interesantes y relevantes, en particular que los controladores del plano z , que tienen la propiedad de que se pueden implementar directamente a partir de la función de transferencia del plano z (relación cero/polo de polinomios), se pueden imaginar gráficamente en un gráfico del plano z de la función de transferencia de bucle abierto, y analizar inmediatamente utilizando el lugar geométrico de las raíces.

Dado que el lugar de las raíces es una técnica de ángulos gráficos, las reglas del lugar de las raíces funcionan de la misma manera en los planos z y s .

La idea del lugar de raíces se puede aplicar a muchos sistemas en los que se varía un único parámetro K. Por ejemplo, es útil barrer cualquier parámetro del sistema cuyo valor exacto sea incierto para determinar su comportamiento.

Véase también

• Margen de fase
• Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
• Criterio de estabilidad de Nyquist
• Margen de ganancia y fase
• Diagrama de Bode

Referencias

1. "1990". Escuela de Ingeniería McKelvey de la Universidad de Washington en St. Louis . Consultado el 12 de marzo de 2023 .
2. Evans, Walter R. (1965), Instrucciones de Spirule , Whittier, CA: The Spirule Company
3. Robert H., JC (2012). Dinámica de sistemas físicos. Ingeniería civil y mecánica de Dover. Publicaciones de Dover. pág. 727. ISBN 978-0-486-13969-2. Recuperado el 12 de marzo de 2023 .
4. Doebelin, EO (1985). Principios y diseño de sistemas de control. Wiley. pág. 312. ISBN 978-0-471-08815-8. Recuperado el 12 de marzo de 2023 .
5. Savant, CJ (1958). Diseño básico de sistemas de control por retroalimentación. Colección especial de ingeniería. McGraw-Hill . Consultado el 12 de marzo de 2023 .
6. Harris, LD (1961). Introducción a los sistemas de retroalimentación. Wiley. ISBN 978-0-598-48455-0. Recuperado el 12 de marzo de 2023 .
7. D'Azzo, JJ; Houpis, CH (1968). Principios de ingeniería eléctrica: circuitos eléctricos, electrónica, instrumentación, conversión de energía, sistemas de control, computadoras. CE Merrill Publishing Company . Consultado el 12 de marzo de 2023 .
8. Gupta, SC; Hasdorff, L. (1983). Fundamentos del control automático. Krieger. ISBN 978-0-89874-578-8. Recuperado el 12 de marzo de 2023 .
9. Dransfield, P. (1968). Sistemas de ingeniería y control automático. Prentice-Hall . Consultado el 12 de marzo de 2023 .
10. Kuo 1967, pág. 331.
11. Kuo 1967, pág. 332.
12. Evans, WR (enero de 1948), "Análisis gráfico de sistemas de control", Trans. AIEE , 67 (1): 547–551, doi :10.1109/T-AIEE.1948.5059708, ISSN  0096-3860, S2CID  51634121
13. Evans, WR (enero de 1950), "Síntesis de sistemas de control mediante el método del lugar de las raíces", Trans. AIEE , 69 (1): 66–69, doi :10.1109/T-AIEE.1950.5060121, ISSN  0096-3860, S2CID  51633514
14. Biblioteca de sistemas de control de Python, Biblioteca de sistemas de control para Python, 19 de diciembre de 2023 , consultado el 19 de diciembre de 2023
15. "Matplotlib — Visualización con Python". matplotlib.org . Consultado el 19 de diciembre de 2023 .

• Kuo, Benjamin C. (1967). "Root Locus Technique". Sistemas de control automático (segunda edición). Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. págs. 329–388. ASIN  B000KPT04C. LCCN  67016388. OCLC  3805225.

Lectura adicional

• Ash, RH; Ash, GH (octubre de 1968), "Cálculo numérico de los lugares de las raíces utilizando la técnica de Newton-Raphson", IEEE Transactions on Automatic Control , 13 (5): 576–582, doi :10.1109/TAC.1968.1098980
• Williamson, SE (mayo de 1968), "Datos de diseño para ayudar a trazar los lugares de las raíces (parte I)", Control Magazine , 12 (119): 404–407
• Williamson, SE (junio de 1968), "Datos de diseño para ayudar a trazar los lugares de las raíces (parte II)", Control Magazine , 12 (120): 556–559
• Williamson, SE (julio de 1968), "Datos de diseño para ayudar a trazar los lugares de las raíces (parte III)", Control Magazine , 12 (121): 645–647
• Williamson, SE (15 de mayo de 1969), "Programa informático para obtener la respuesta temporal de sistemas de datos muestreados", Electronics Letters , 5 (10): 209–210, Bibcode :1969ElL.....5..209W, doi :10.1049/el:19690159
• Williamson, SE (julio de 1969), "Gráficos precisos del lugar de las raíces, incluidos los efectos del retardo de tiempo puro. Descripción de programas informáticos", Proceedings of the Institution of Electrical Engineers , 116 (7): 1269–1271, doi :10.1049/piee.1969.0235, archivado desde el original el 29 de junio de 2019

Enlaces externos

• Wikilibros: Sistemas de control/Locus de las raíces
• Tutorial de Carnegie Mellon/Universidad de Michigan
• Ejemplos excelentes. Comience con el ejemplo 5 y continúe hacia atrás desde el 4 hasta el 1. Visite también la página principal
• El método del lugar de las raíces: técnicas de dibujo a mano
• "RootLocs": un trazador de lugares de raíces gratuito y con múltiples funciones para plataformas Mac y Windows
• "Root Locus": un analizador/graficador de lugares de raíces gratuito para Windows
• Lugar de las raíces en ControlTheoryPro.com
• Análisis del lugar de las raíces de los sistemas de control
• Función de MATLAB para calcular el lugar de las raíces de un modelo de bucle abierto SISO
• Wechsler, ER (enero-marzo de 1983), "Algoritmos de lugar de raíces para calculadoras de bolsillo programables" (PDF) , Informe de progreso de telecomunicaciones y adquisición de datos , 73 , NASA: 60–64, Bibcode :1983TDAPR..73...60W
• Función de Mathematica para trazar el lugar de las raíces
• Šekara, Tomislav B.; Rapaić, Milan R. (1 de octubre de 2015). "Una revisión del método del lugar de las raíces con aplicaciones". Journal of Process Control . 34 : 26–34. doi :10.1016/j.jprocont.2015.07.007.