Lugar geométrico planckiano

Lugar geométrico de colores de cuerpos negros incandescentes dentro de un espacio de color

Lugar planckiano en el diagrama de cromaticidad CIE 1931

En física y ciencia del color , el lugar geométrico de Planck o lugar geométrico del cuerpo negro es el camino o lugar geométrico que tomaría el color de un cuerpo negro incandescente en un espacio de cromaticidad particular a medida que cambia la temperatura del cuerpo negro . Va desde el rojo intenso a bajas temperaturas, pasando por el naranja , el amarillento , el blanco y, finalmente, el blanco azulado a temperaturas muy altas.

Un espacio de color es un espacio tridimensional ; es decir, un color se especifica mediante un conjunto de tres números (las coordenadas CIE X , Y y Z , por ejemplo, u otros valores como tono , colorido y luminancia ) que especifican el color y el brillo de un estímulo visual homogéneo particular. Una cromaticidad es un color proyectado en un espacio bidimensional que ignora el brillo. Por ejemplo, el espacio de color estándar CIE XYZ proyecta directamente al espacio de cromaticidad correspondiente especificado por las dos coordenadas de cromaticidad conocidas como x e y , lo que forma el diagrama de cromaticidad familiar que se muestra en la figura. El locus de Planck, la ruta que toma el color de un cuerpo negro a medida que cambia la temperatura del cuerpo negro, a menudo se muestra en este espacio de cromaticidad estándar.

Lugar geométrico planckiano en el espacio de color XYZ

Funciones del observador colorimétrico estándar CIE 1931 utilizadas para mapear espectros de cuerpo negro a coordenadas XYZ

En el espacio de color CIE XYZ , las tres coordenadas que definen un color están dadas por X , Y y Z : ^[1]

${\displaystyle X_{T}=\int _{\lambda }X(\lambda )M(\lambda ,T)\,d\lambda }$

${\displaystyle Y_{T}=\int _{\lambda }Y(\lambda )M(\lambda ,T)\,d\lambda }$

${\displaystyle Z_{T}=\int _{\lambda }Z(\lambda )M(\lambda ,T)\,d\lambda }$

donde M ( λ , T ) es la excitación radiante espectral de la luz que se observa, y X ( λ ), Y ( λ ) y Z ( λ ) son las funciones de correspondencia de color del observador colorimétrico estándar CIE , que se muestra en el diagrama de la derecha, y λ es la longitud de onda. El lugar geométrico de Planck se determina sustituyendo en las ecuaciones anteriores la excitación radiante espectral del cuerpo negro, que viene dada por la ley de Planck :

${\displaystyle M(\lambda ,T)={\frac {c_{1}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{\exp \left({\frac {c_{2}}{{\lambda }T}}\right)-1}}}$

dónde:

c ₁ = 2 π hc ² es la primera constante de radiación

c ₂ = hc / k es la segunda constante de radiación

y

M es la excitación radiante espectral del cuerpo negro (potencia por unidad de área por unidad de longitud de onda: vatio por metro cuadrado por metro (W/m3 ⁾ )

T es la temperatura del cuerpo negro

h es la constante de Planck

c es la velocidad de la luz

k es la constante de Boltzmann

Esto dará el lugar geométrico de Planck en el espacio de color CIE XYZ. Si estas coordenadas son X _T , Y _T , Z _T donde T es la temperatura, entonces las coordenadas de cromaticidad CIE serán

${\displaystyle x_{T}={\frac {X_{T}}{X_{T}+Y_{T}+Z_{T}}}}$

${\displaystyle y_{T}={\frac {Y_{T}}{X_{T}+Y_{T}+Z_{T}}}}$

Tenga en cuenta que en la fórmula anterior para la Ley de Planck, también podría usar c _1L = 2 hc ² (la primera constante de radiación para la radiancia espectral ) en lugar de c ₁ (la primera constante de radiación "regular"), en cuyo caso la fórmula daría la radiancia espectral L ( λ , T ) del cuerpo negro en lugar de la excitancia radiante espectral M ( λ , T ). Sin embargo, este cambio solo afecta los valores absolutos de X _T , Y _T y Z _T , no los valores relativos entre sí . Dado que X _T , Y _T y Z _T generalmente se normalizan a Y _T = 1 (o Y _T = 100) y se normalizan cuando se calculan x _T e y _T , los valores absolutos de X _T , Y _T y Z _T no importan. Por razones prácticas, c ₁ podría simplemente reemplazarse por 1.

Aproximación

El lugar geométrico de Planck en el espacio xy se representa como una curva en el diagrama de cromaticidad anterior. Si bien es posible calcular las coordenadas xy de la CIE con exactitud dadas las fórmulas anteriores, es más rápido utilizar aproximaciones. Dado que la escala de Mired cambia de manera más uniforme a lo largo del lugar geométrico que la temperatura en sí, es común que dichas aproximaciones sean funciones de la temperatura recíproca. Kim et al. utilizan un spline cúbico : ^{[2] [3]}

${\displaystyle x_{\text{c}}={\begin{cases}-0.2661239{\frac {10^{9}}{T^{3}}}-0.2343589{\frac {10^{6}}{T^{2}}}+0.8776956{\frac {10^{3}}{T}}+0.179910&1667\,{\text{K}}\leq T\leq 4000\,{\text{K}}\\-3.0258469{\frac {10^{9}}{T^{3}}}+2.1070379{\frac {10^{6}}{T^{2}}}+0.2226347{\frac {10^{3}}{T}}+0.240390&4000\,{\text{K}}\leq T\leq 25000\,{\text{K}}\end{cases}}}$

${\displaystyle y_{\text{c}}={\begin{cases}-1.1063814x_{\text{c}}^{3}-1.34811020x_{\text{c}}^{2}+2.18555832x_{\text{c}}-0.20219683&1667\,{\text{K}}\leq T\leq 2222\,{\text{K}}\\-0.9549476x_{\text{c}}^{3}-1.37418593x_{\text{c}}^{2}+2.09137015x_{\text{c}}-0.16748867&2222\,{\text{K}}\leq T\leq 4000\,{\text{K}}\\+3.0817580x_{\text{c}}^{3}-5.87338670x_{\text{c}}^{2}+3.75112997x_{\text{c}}-0.37001483&4000\,{\text{K}}\leq T\leq 25000\,{\text{K}}\end{cases}}}$

Aproximación de Kim et al. al lugar geométrico de Planck (mostrado en rojo). Las muescas delimitan las tres splines (mostradas en azul).

Animación que muestra una aproximación del color del lugar de Planck a través del espectro visible

El lugar geométrico de Planck también se puede aproximar en el espacio de color CIE 1960 , que se utiliza para calcular CCT y CRI, utilizando las siguientes expresiones: ^[4]

${\displaystyle {\bar {u}}(T)={\frac {0.860117757+1.54118254\times 10^{-4}T+1.28641212\times 10^{-7}T^{2}}{1+8.42420235\times 10^{-4}T+7.08145163\times 10^{-7}T^{2}}}}$

${\displaystyle {\bar {v}}(T)={\frac {0.317398726+4.22806245\times 10^{-5}T+4.20481691\times 10^{-8}T^{2}}{1-2.89741816\times 10^{-5}T+1.61456053\times 10^{-7}T^{2}}}}$

Esta aproximación es precisa dentro y para . Alternativamente, se pueden usar las coordenadas de cromaticidad ( x , y ) estimadas a partir de lo anterior para derivar las ( u , v ) correspondientes, si se requiere un rango más amplio de temperaturas. ${\displaystyle \left|u-{\bar {u}}\right|<8\times 10^{-5}}$ ${\displaystyle \left|v-{\bar {v}}\right|<9\times 10^{-5}}$ ${\displaystyle 1000\,K<T<15\,000\,K}$

El cálculo inverso, desde las coordenadas de cromaticidad ( x , y ) en o cerca del lugar geométrico de Planck hasta la temperatura de color correlacionada, se analiza en Temperatura de color correlacionada § Aproximación .

Temperatura de color correlacionada

La temperatura de color correlacionada ( T _cp ) es la temperatura del radiador planckiano cuyo color percibido se asemeja más al de un estímulo dado con el mismo brillo y bajo condiciones de visualización específicas.

—  CIE/IEC 17.4:1987, Vocabulario internacional de iluminación ( ISBN  3900734070 ) ^[5]

El procedimiento matemático para determinar la temperatura de color correlacionada implica encontrar el punto más cercano al punto blanco de la fuente de luz en el lugar geométrico de Planck. Desde la reunión de la CIE de 1959 en Bruselas, el lugar geométrico de Planck se ha calculado utilizando el espacio de color CIE 1960 , también conocido como diagrama de MacAdam (u,v). ^[6] Hoy en día, el espacio de color CIE 1960 está en desuso para otros fines: ^[7]

El diagrama UCS de 1960 y el Espacio Uniforme de 1964 se declaran recomendaciones obsoletas en CIE 15.2 (1986), pero se han conservado por el momento para calcular los índices de reproducción cromática y la temperatura de color correlacionada.

—  CIE 13.3 (1995), Método de medición y especificación de las propiedades de reproducción cromática de las fuentes de luz

Debido a la inexactitud perceptiva inherente al concepto, basta con calcular con un margen de error de 2 K en CCT inferiores y de 10 K en CCT superiores para alcanzar el umbral de imperceptibilidad. ^[8]

Primer plano de la UCS CIE 1960. Las isotermas son perpendiculares al lugar geométrico de Planck y se dibujan para indicar la distancia máxima desde el lugar geométrico en que la CIE considera que la temperatura de color correlacionada es significativa: ${\displaystyle \Delta _{uv}=\pm 0.05}$

Escala internacional de temperatura

El locus planckiano se obtiene determinando los valores de cromaticidad de un radiador planckiano utilizando el observador colorimétrico estándar. La distribución de potencia espectral relativa (SPD) de un radiador planckiano sigue la ley de Planck y depende de la segunda constante de radiación, . A medida que las técnicas de medición han mejorado, la Conferencia General de Pesos y Medidas ha revisado su estimación de esta constante, con la Escala Internacional de Temperatura (y brevemente, la Escala Práctica Internacional de Temperatura ). Estas revisiones sucesivas provocaron un cambio en el locus planckiano y, como resultado, en la escala de temperatura de color correlacionada. Antes de dejar de publicar iluminantes estándar , la CIE resolvió este problema especificando explícitamente la forma de la SPD, en lugar de hacer referencias a cuerpos negros y una temperatura de color. Sin embargo, es útil estar al tanto de las revisiones anteriores para poder verificar los cálculos realizados en textos más antiguos: ^{[9] [10]} ${\displaystyle c_{2}=hc/k}$

• ${\displaystyle c_{2}}$=1,432 × 10 ⁻²  m·K (ITS-27). Nota: Estaba en vigor durante la estandarización de los iluminantes A, B, C (1931), sin embargo la CIE utilizó el valor recomendado por la Oficina Nacional de Normas de EE. UU. , 1,435 × 10 ^{−2 [11] [12]}
• ${\displaystyle c_{2}}$=1,4380 × 10 ⁻²  m·K (IPTS-48). En vigor para la serie de iluminantes D (formalizada en 1967).
• ${\displaystyle c_{2}}$=1,4388 × 10 ⁻²  m·K (ITS-68), (ITS-90). Se utiliza a menudo en artículos recientes.
• ${\displaystyle c_{2}}$=1,438 7770 (13) × 10 ⁻²  m·K ( CODATA 2010) ^[13]
• ${\displaystyle c_{2}}$=1,438 777 36 (83) × 10 ⁻²  m·K ( CODATA 2014) ^{[14] [15]}
• ${\displaystyle c_{2}}$=1.438 776 877 ... × 10 ⁻²  m·K ( CODATA 2018). Valor actual, a fecha de 2020. ^[16] La revisión de 2019 del SI fijó la constante de Boltzmann a un valor exacto. Dado que la constante de Planck y la velocidad de la luz ya estaban fijadas a valores exactos, eso significa que c ₂ ahora también es un valor exacto. Tenga en cuenta que ... no indica una fracción repetida; simplemente significa que de este valor exacto solo se muestran los primeros diez dígitos.

Véase también

• Catástrofe ultravioleta

Referencias

1. Wyszecki, Günter y Stiles, Walter Stanley (2000). Ciencia del color: conceptos y métodos, datos cuantitativos y fórmulas (2.ª edición). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-39918-3.
2. Patente estadounidense 7024034, Kim et al., "Sistema de conversión de temperatura de color y método que lo utiliza", publicada el 4 de abril de 2006 
3. Bongsoon Kang; Ohak Moon; Changhee Hong; Honam Lee; Bonghwan Cho; Youngsun Kim (diciembre de 2002). "Diseño de un sistema avanzado de control de temperatura de color para aplicaciones de HDTV" (PDF) . Journal of the Korean Physical Society . 41 (6): 865–871. S2CID  4489377. Archivado desde el original (PDF) el 2019-03-03.
4. Krystek, Michael P. (enero de 1985). "Un algoritmo para calcular la temperatura de color correlacionada". Color Research & Application . 10 (1): 38–40. doi :10.1002/col.5080100109. Se presenta un nuevo algoritmo para calcular la temperatura de color correlacionada. Este algoritmo se basa en una aproximación racional de Chebyshev del lugar geométrico de Planck en el diagrama UCS de la CIE de 1960 y en un procedimiento de bisección. Por lo tanto, ya no son necesarios los procedimientos de búsqueda en tablas o gráficos que consumen mucho tiempo.
5. Borbély, Ákos; Sansón, Árpád; Schanda, János (diciembre de 2001). "Revisión del concepto de temperatura de color correlacionada". Investigación y aplicación del color . 26 (6): 450–457. doi :10.1002/col.1065. Archivado desde el original el 5 de febrero de 2009.
6. Kelly, Kenneth L. (agosto de 1963). "Líneas de temperatura de color correlacionada constante basadas en la transformación de cromaticidad uniforme de MacAdam (u,v) del diagrama CIE". JOSA . 53 (8): 999. Bibcode :1963JOSA...53..999K. doi :10.1364/JOSA.53.000999.
7. Simons, Ronald Harvey; Bean, Arthur Robert (2001). Ingeniería de iluminación: cálculos aplicados. Architectural Press. ISBN 0-7506-5051-6.
8. Ohno, Yoshi; Jergens, Michael (19 de junio de 1999). "Resultados de la intercomparación del cálculo de la temperatura de color correlacionada" (PDF) . CORM. Archivado desde el original (PDF) el 30 de septiembre de 2006.
9. Janos Schanda (2007). "3: Colorimetría CIE". Colorimetría: comprensión del sistema CIE . Wiley Interscience . págs. 37–46. ISBN 978-0-470-04904-4.
10. "El sitio de recursos ITS-90". Archivado desde el original el 21 de febrero de 2008. Consultado el 20 de febrero de 2008 .
11. Hall, JA (enero de 1967). "La historia temprana de la escala práctica internacional de temperatura". Metrologia . 3 (1): 25–28. doi :10.1088/0026-1394/3/1/006.
12. Moon, Parry (marzo de 1948). "Una tabla de radiación planckiana". JOSA . 38 (3): 291–294. doi :10.1364/JOSA.38.000291. PMID  18903298.
13. Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2012). "Valores recomendados por CODATA de las constantes físicas fundamentales: 2010" (PDF) .
14. Mohr, Peter J. (26 de septiembre de 2016). "Valores recomendados por CODATA para las constantes físicas fundamentales: 2014". Reseñas de Física Moderna . 88 (3): 035009. arXiv : 1507.07956 . Código Bibliográfico :2016RvMP...88c5009M. doi :10.1103/RevModPhys.88.035009. S2CID  1115862.
15. Mohr, Peter J.; Newell, David B.; Taylor, Barry N. (22 de noviembre de 2016). "Valores recomendados por CODATA de las constantes físicas fundamentales: 2014". Journal of Physical and Chemical Reference Data . 45 (4): 043102. arXiv : 1507.07956 . Código Bibliográfico :2016JPCRD..45d3102M. doi :10.1063/1.4954402. ISSN  0047-2689.
16. "Valor CODATA 2018: segunda constante de radiación: referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre" . Consultado el 17 de enero de 2020 .

Enlaces externos

• Tabla numérica de temperatura de color y las coordenadas xy y sRGB correspondientes para los CMF de 1931 y 1964, por Mitchell Charity.