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embalaje tetraédrico

En geometría , el empaquetamiento de tetraedros es el problema de organizar tetraedros regulares idénticos en todo el espacio tridimensional para llenar la máxima fracción posible de espacio.

La estructura de empaquetamiento más densa conocida actualmente para tetraedros regulares es una red doble de bipirámides triangulares y ocupa el 85,63% del espacio.

Actualmente, el mejor límite inferior alcanzado para la fracción de empaquetamiento óptima de los tetraedros regulares es 85,63%. [1] Los tetraedros no forman mosaicos en el espacio, [2] y se ha informado de un límite superior por debajo del 100% (es decir, 1 − (2,6...)·10 −25 ). [3]

Resultados históricos

Embalaje tetraédrico

Aristóteles afirmó que los tetraedros podían llenar el espacio por completo. [4] [5]

En 2006, Conway y Torquato demostraron que se puede obtener una fracción de empaquetamiento de alrededor del 72% construyendo un empaquetamiento de tetraedros que no sea de la red de Bravais (con múltiples partículas con orientaciones generalmente diferentes por unidad repetitiva) y, por lo tanto, demostraron que el mejor empaquetamiento de tetraedro no puede ser un empaquetamiento reticular (con una partícula por unidad repetitiva de modo que cada partícula tenga una orientación común). [6] Estas construcciones de empaque casi duplicaron la fracción óptima de empaquetamiento de celosía de Bravais (36,73%) obtenida por Hoylman. [7] En 2007 y 2010, Chaikin y sus compañeros de trabajo demostraron experimentalmente que los dados tipo tetraedro pueden empaquetarse aleatoriamente en un contenedor finito hasta una fracción de empaquetamiento entre 75% y 76%. [8] En 2008, Chen fue el primero en proponer un empaquetamiento de tetraedros duros y regulares que se empaquetaban más densamente que las esferas, demostrando numéricamente una fracción de empaquetamiento del 77,86%. [9] [10] Torquato y Jiao realizaron una mejora adicional en 2009, quienes comprimieron la estructura de Chen utilizando un algoritmo informático a una fracción de empaquetamiento del 78,2021%. [11]

A mediados de 2009, Haji-Akbari et al. demostró, utilizando simulaciones MC de sistemas inicialmente aleatorios, que con densidades de empaquetamiento> 50%, un fluido en equilibrio de tetraedros duros se transforma espontáneamente en un cuasicristal dodecagonal , que se puede comprimir al 83,24%. También informaron de una empaquetadura vítrea y desordenada en densidades superiores al 78%. Para una aproximación periódica a un cuasicristal con una celda unitaria de 82 tetraedros, obtuvieron una densidad de empaquetamiento de hasta el 85,03%. [12]

A finales de 2009, Kallus, Elser y Gravel descubrieron una nueva familia de empaquetaduras mucho más simple con una fracción de empaquetadura del 85,47%. [13] Estos empaques también fueron la base de un empaque ligeramente mejorado obtenido por Torquato y Jiao a finales de 2009 con una fracción de empaque del 85,55%, [14] y por Chen, Engel y Glotzer a principios de 2010 con una fracción de empaque del 85,63%. [1] El resultado de Chen, Engel y Glotzer se presenta actualmente como el empaquetamiento más denso conocido de tetraedros duros y regulares. Sorprendentemente, el mosaico de triángulo cuadrado [12] es más denso que esta doble red de bipirámides triangulares cuando los tetraedros están ligeramente redondeados (la suma de Minkowski de un tetraedro y una esfera), lo que convierte al cristal de 82 tetraedros en la celda unitaria más grande para un empaquetado más denso. de partículas idénticas hasta la fecha. [15]

Relación con otros problemas de embalaje

Debido a que el límite inferior más antiguo conocido para los empaquetamientos de tetraedros era menor que el de las esferas , se sugirió que los tetraedros regulares podrían ser un contraejemplo a la conjetura de Ulam de que la densidad óptima para empaquetar esferas congruentes es menor que la de cualquier otro cuerpo convexo. Sin embargo, los resultados más recientes han demostrado que este no es el caso.

Ver también

Referencias

  1. ^ ab Chen, Elizabeth R.; Engel, Michael; Glotzer, Sharon C. (2010). "Embalajes de dímeros cristalinos densos de tetraedros regulares". Geometría discreta y computacional . 44 (2): 253–280. arXiv : 1001.0586 . doi :10.1007/s00454-010-9273-0. S2CID  18523116.
  2. ^ Struik, DJ (1925). "El problema 'De Impletione Loci'". Nieuw Archief voor Wiskunde . 2.º ser. 15 : 121–134. JFM  52.0002.04.
  3. ^ Simón grava; Veit Elser; Yoav Kallus (2010). "Límite superior de la densidad de empaquetamiento de tetraedros y octaedros regulares". Geometría discreta y computacional . 46 (4): 799–818. arXiv : 1008.2830 . doi :10.1007/s00454-010-9304-x. S2CID  18908213.
  4. ^ Jeffrey Lagarias y Chuanming Zong (4 de diciembre de 2012). "Misterios al empaquetar tetraedros regulares" (PDF) .
  5. ^ Comunicado de prensa (3 de diciembre de 2014). "Jeffrey Lagarias y Chuanming Zong recibirán el Premio Conant 2015".
  6. ^ Conway, JH (2006). "Embalaje, alicatado y revestimiento con tetraedros". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 103 (28): 10612–10617. Código bibliográfico : 2006PNAS..10310612C. doi : 10.1073/pnas.0601389103 . PMC 1502280 . PMID  16818891. 
  7. ^ Hoylman, Douglas J. (1970). "El empaquetamiento reticular más denso de tetraedros". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 76 : 135-138. doi : 10.1090/S0002-9904-1970-12400-4 . hdl : 10150/288016 .
  8. ^ Jaoshvili, Alejandro; Esakia, Andría; Porrati, Massimo; Chaikin, Paul M. (2010). "Experimentos sobre el embalaje aleatorio de dados tetraédricos". Cartas de revisión física . 104 (18): 185501. Código bibliográfico : 2010PhRvL.104r5501J. doi : 10.1103/PhysRevLett.104.185501. hdl : 10919/24495 . PMID  20482187.
  9. ^ Chen, Elizabeth R. (2008). "Un embalaje denso de tetraedros regulares". Geometría discreta y computacional . 40 (2): 214–240. arXiv : 0908.1884 . doi :10.1007/s00454-008-9101-y. S2CID  32166668.
  10. ^ Cohn, Henry (2009). "Física matemática: en apuros". Naturaleza . 460 (7257): 801–802. Código Bib :2009Natur.460..801C. doi :10.1038/460801a. PMID  19675632. S2CID  5157975.
  11. ^ Torquato, S.; Jiao, Y. (2009). "Empaquetamientos densos de los sólidos platónicos y de Arquímedes". Naturaleza . 460 (7257): 876–879. arXiv : 0908.4107 . Código Bib :2009Natur.460..876T. doi : 10.1038/naturaleza08239. PMID  19675649. S2CID  52819935.
  12. ^ ab Haji-Akbari, Amir; Engel, Michael; Claves, Aaron S.; Zheng, Xiaoyu; Petschek, Rolfe G.; Palffy-Muhoray, Peter; Glotzer, Sharon C. (2009). "Fases desordenadas, cuasicristalinas y cristalinas de tetraedros densamente empaquetados". Naturaleza . 462 (7274): 773–777. arXiv : 1012.5138 . Código Bib :2009Natur.462..773H. doi : 10.1038/naturaleza08641. PMID  20010683. S2CID  4412674.
  13. ^ Kallus, Yoav; Más, Veit; Grava, Simon (2010). "Empaquetamientos periódicos densos de tetraedros con pequeñas unidades repetitivas". Geometría discreta y computacional . 44 (2): 245–252. arXiv : 0910.5226 . doi :10.1007/s00454-010-9254-3. S2CID  13385357.
  14. ^ Torquato, S.; Jiao, Y. (2009). "Construcciones analíticas de una familia de empaquetaduras de tetraedros densos y el papel de la simetría". arXiv : 0912.4210 [cond-mat.stat-mech].
  15. ^ Jin, Weiwei; Lu, Peng; Li, Shuixiang (diciembre de 2015). "Evolución de los densos empaquetamientos de partículas esferotetraédricas: de tetraedros ideales a esferas". Informes científicos . 5 (1): 15640. Código bibliográfico : 2015NatSR...515640J. doi : 10.1038/srep15640 . PMC 4614866 . PMID  26490670. 

enlaces externos