Expresión fundamental

Término que no contiene ninguna variable.

En lógica matemática , un término fundamental de un sistema formal es un término que no contiene ninguna variable . De manera similar, una fórmula básica es una fórmula que no contiene ninguna variable.

En lógica de primer orden con identidad con símbolos constantes y , la oración es una fórmula básica. Una expresión fundamental es un término fundamental o una fórmula fundamental. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Q(a)\lor P(b)}$

Ejemplos

Considere las siguientes expresiones en lógica de primer orden sobre una firma que contiene los símbolos constantes y para los números 0 y 1, respectivamente, un símbolo de función unaria para la función sucesora y un símbolo de función binaria para la suma. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle +}$

• ${\displaystyle s(0),s(s(0)),s(s(s(0))),\ldots }$son términos básicos;
• ${\displaystyle 0+1,\;0+1+1,\ldots }$son términos básicos;
• ${\displaystyle 0+s(0),\;s(0)+s(0),\;s(0)+s(s(0))+0}$son términos básicos;
• ${\displaystyle x+s(1)}$y son términos, pero no términos básicos; ${\displaystyle s(x)}$
• ${\displaystyle s(0)=1}$y son fórmulas básicas. ${\displaystyle 0+0=0}$

Definiciones formales

Lo que sigue es una definición formal de lenguajes de primer orden . Sea un lenguaje de primer orden, con el conjunto de símbolos constantes, el conjunto de operadores funcionales y el conjunto de símbolos predicados . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$

Término fundamental

Atérmino fundamental es untérminoque no contiene variables. Los términos básicos pueden definirse mediante recursividad lógica (fórmula-recursión):

1. Los elementos de son términos básicos; ${\displaystyle C}$
2. Si es un símbolo de función aria y son términos fundamentales, entonces es un término fundamental. ${\displaystyle f\in F}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle f\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)}$
3. Cada término fundamental puede estar dado por una aplicación finita de las dos reglas anteriores (no hay otros términos fundamentales; en particular, los predicados no pueden ser términos fundamentales).

En términos generales, el universo de Herbrand es el conjunto de todos los términos fundamentales.

átomo terrestre

Apredicado fundamental ,átomo terrestre oEl literal fundamental es unafórmula atómicacuyos términos argumentales son términos fundamentales.

Si es un símbolo de predicado -ario y son términos fundamentales, entonces es un predicado fundamental o un átomo fundamental. ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle p\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)}$

En términos generales, la base de Herbrand es el conjunto de todos los átomos fundamentales, ^[1] mientras que una interpretación de Herbrand asigna un valor de verdad a cada átomo fundamental de la base.

Fórmula molida

Afórmula molida oLa cláusula suelo es una fórmula sin variables.

Las fórmulas fundamentales se pueden definir mediante recursividad sintáctica de la siguiente manera:

1. Un átomo terrestre es una fórmula fundamental.
2. Si y son fórmulas básicas, entonces , y son fórmulas básicas. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \lnot \varphi }$ ${\displaystyle \varphi \lor \psi }$ ${\displaystyle \varphi \land \psi }$

Las fórmulas básicas son un tipo particular de fórmulas cerradas .

Ver también

• Fórmula abierta  : fórmula que contiene al menos una variable librePáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Oración (lógica matemática)  : en lógica matemática, una fórmula bien formada sin variables libresPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Referencias

1. Alex Sájarov. "Átomo terrestre". MundoMatemático . Consultado el 20 de octubre de 2022 .

• Dalal, M. (2000), "Paradigmas de programación informática basados ​​en la lógica", en Rosen, KH; Michaels, JG (eds.), Manual de matemáticas discretas y combinatorias , p. 68
• Hodges, Wilfrid (1997), Una teoría de modelos más breve , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6
• Lógica de primer orden: sintaxis y semántica