En matemáticas, una sesquipotencia o palabra Zimin es una cadena de caracteres que tiene el mismo prefijo y sufijo . Las sesquipotencias son patrones inevitables , en el sentido de que todas las cadenas suficientemente largas contienen uno.
Formalmente, sea A un alfabeto y A ∗ el monoide libre de cadenas finitas sobre A . Toda palabra no vacía w en A + es una sesquipotencia de orden 1. Si u es una sesquipotencia de orden n entonces cualquier palabra w = uvu es una sesquipotencia de orden n + 1. [1] El grado de una palabra no vacía w es el entero más grande d tal que w es una sesquipotencia de orden d . [2]
Una secuencia bi-ideal es una secuencia de palabras f i donde f 1 está en A + y
para algún g i en A ∗ e i ≥ 1. El grado de una palabra w es, por tanto, la longitud de la secuencia bi-ideal más larga que termina en w . [2]
Para un alfabeto finito A de k letras, existe un entero M que depende de k y n , de modo que cualquier palabra de longitud M tiene un factor que es una sesquipotencia de orden al menos n . Expresamos esto diciendo que las sesquipotencias son patrones inevitables . [3] [4]
Dada una secuencia bi-ideal infinita, observamos que cada f i es un prefijo de f i +1 y por lo tanto las f i convergen a una secuencia infinita
Definimos una palabra infinita como una sesquipotencia si es el límite de una secuencia bi-ideal infinita. [5] Una palabra infinita es una sesquipotencia si y solo si es una palabra recurrente , [5] [6] es decir, cada factor ocurre infinitamente a menudo. [7]
Fijemos un alfabeto finito A y supongamos que las letras tienen un orden total . Para los números enteros p y n dados , cada palabra suficientemente larga en A ∗ tiene un factor que es una potencia p o un factor que es una sesquipotencia n ; en el último caso, el factor tiene una factorización n en palabras Lyndon . [6]
