Proceso cuasi nacimiento-muerte

En los modelos de colas , una disciplina dentro de la teoría matemática de la probabilidad , el proceso cuasi-nacimiento-muerte describe una generalización del proceso nacimiento-muerte . ^{[1] [2] : 118} Al igual que con el proceso nacimiento-muerte, se mueve hacia arriba y hacia abajo entre niveles uno a la vez, pero el tiempo entre estas transiciones puede tener una distribución más complicada codificada en los bloques.

Tiempo discreto

La matriz estocástica que describe la cadena de Markov tiene estructura de bloques ^[3]

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}A_{1}^{\ast }&A_{2}^{\ast }\\A_{0}^{\ast }&A_{1}&A_{2}\\&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&&\ddots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}}$

donde cada uno de A ₀ , A ₁ y A ₂ son matrices y A * ₀ , A * ₁ y A * ₂ son matrices irregulares para el primer y segundo nivel. ^[4]

Tiempo continuo

La matriz de tasa de transición para un proceso cuasi-nacimiento-muerte tiene una estructura de bloques tridiagonal

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}B_{00}&B_{01}\\B_{10}&A_{1}&A_{2}\\&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&&A_{0}&A_{1}&A_{2}\\&&&&\ddots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}}$

donde cada uno de B ₀₀ , B ₀₁ , B ₁₀ , A ₀ , A ₁ y A ₂ son matrices. ^[5] El proceso puede verse como una cadena bidimensional donde la estructura de bloques se llama niveles y la estructura intrabloque fases . ^[6] Cuando se describe el proceso tanto por nivel como por fase, es una cadena de Markov de tiempo continuo , pero cuando se consideran solo los niveles, es un proceso semi-Markov (ya que los tiempos de transición no se distribuyen exponencialmente).

Por lo general, los bloques tienen un número finito de fases, pero los modelos como la red de Jackson pueden considerarse como procesos cuasi-nacimiento-muerte con un número infinito (pero contable ) de fases. ^{[6] [7]}

Distribución estacionaria

La distribución estacionaria de un proceso cuasi-nacimiento-muerte se puede calcular utilizando el método geométrico matricial .

Referencias

1. Latouche, G. (2011). "Procesos cuasi-nacimiento-y-muerte independientes del nivel". Enciclopedia Wiley de Investigación de Operaciones y Ciencias de la Gestión . doi :10.1002/9780470400531.eorms0461. ISBN 9780470400531.
2. Gautam, Natarajan (2012). Análisis de colas: métodos y aplicaciones . CRC Press. ISBN 9781439806586.
3. Latouche, G.; Pearce, CEM; Taylor, PG (1998). "Medidas invariantes para procesos cuasi-nacimiento-y-muerte". Communications in Statistics. Modelos estocásticos . 14 : 443. doi :10.1080/15326349808807481.
4. Palugya, SN; Csorba, MTJ (2005). "Modelado de listas de control de acceso con procesos de nacimiento-muerte cuasi-temporales discretos". Ciencias de la computación y la información - ISCIS 2005. Apuntes de clase en ciencias de la computación. Vol. 3733. p. 234. doi :10.1007/11569596_26. ISBN 978-3-540-29414-6.
5. Asmussen, SR (2003). "Markov Additive Models". Probabilidad aplicada y colas . Modelado estocástico y probabilidad aplicada. Vol. 51. págs. 302–339. doi :10.1007/0-387-21525-5_11. ISBN 978-0-387-00211-8.
6. Kroese, DP ; Scheinhardt, WRW; Taylor, PG (2004). "Propiedades espectrales de la red tándem de Jackson, vista como un proceso cuasi-nacimiento-muerte". Anales de probabilidad aplicada . 14 (4): 2057. arXiv : math/0503555 . doi :10.1214/105051604000000477.
7. Motyer, AJ; Taylor, PG (2006). "Tasas de decaimiento para procesos de cuasi-nacimiento-y-muerte con un número contable de fases y generadores de bloques tridiagonales". Advances in Applied Probability . 38 (2): 522. doi : 10.1239/aap/1151337083 .