Proceso Moran

Proceso estocástico utilizado en biología para describir poblaciones finitas

Un proceso de Moran o modelo de Moran es un proceso estocástico simple utilizado en biología para describir poblaciones finitas. El proceso recibe su nombre de Patrick Moran , quien propuso por primera vez el modelo en 1958. ^[1] Se puede utilizar para modelar procesos de aumento de variedad, como la mutación, así como efectos de reducción de variedad, como la deriva genética y la selección natural . El proceso puede describir la dinámica probabilística en una población finita de tamaño constante N en la que dos alelos A y B compiten por el dominio. Los dos alelos se consideran verdaderos replicadores (es decir, entidades que hacen copias de sí mismas).

En cada paso temporal se elige un individuo aleatorio (del tipo A o B) para la reproducción y un individuo aleatorio para la muerte, lo que garantiza que el tamaño de la población se mantenga constante. Para modelar la selección, un tipo debe tener una aptitud más alta y, por lo tanto, es más probable que sea elegido para la reproducción. El mismo individuo puede ser elegido para la muerte y para la reproducción en el mismo paso.

Deriva neutra

La deriva neutra es la idea de que una mutación neutra puede propagarse por toda una población, de modo que, con el tiempo, se pierda el alelo original . Una mutación neutra no aporta ninguna ventaja o desventaja en términos de aptitud a su portador. El caso simple del proceso de Moran puede describir este fenómeno.

El proceso de Moran se define en el espacio de estados i = 0, ..., N , que cuenta el número de individuos A. Dado que el número de individuos A puede cambiar como máximo en uno en cada paso de tiempo, solo existe una transición entre el estado i y el estado i − 1, i e i + 1 . Por lo tanto, la matriz de transición del proceso estocástico tiene forma tridiagonal y las probabilidades de transición son

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{i,i-1}&={\frac {N-i}{N}}{\frac {i}{N}}\\P_{i,i}&=1-P_{i,i-1}-P_{i,i+1}\\P_{i,i+1}&={\frac {i}{N}}{\frac {N-i}{N}}\\\end{aligned}}}$

La entrada denota la probabilidad de pasar del estado i al estado j . Para entender las fórmulas para las probabilidades de transición hay que mirar la definición del proceso que establece que siempre se elegirá un individuo para la reproducción y otro para la muerte. Una vez que los individuos A han muerto, nunca serán reintroducidos en la población ya que el proceso no modela mutaciones (A no puede ser reintroducido en la población una vez que ha muerto y viceversa ) y por lo tanto . Por la misma razón la población de individuos A siempre permanecerá N una vez que hayan alcanzado ese número y se hayan apoderado de la población y por lo tanto . Los estados 0 y N se llaman absorbentes mientras que los estados 1, ..., N − 1 se llaman transitorios . Las probabilidades de transición intermedias se pueden explicar considerando el primer término como la probabilidad de elegir el individuo cuya abundancia aumentará en uno y el segundo término como la probabilidad de elegir el otro tipo para la muerte. Obviamente, si se elige el mismo tipo para la reproducción y para la muerte, entonces la abundancia de un tipo no cambia. ${\displaystyle P_{i,j}}$ ${\displaystyle P_{0,0}=1}$ ${\displaystyle P_{N,N}=1}$

Finalmente, la población alcanzará uno de los estados absorbentes y permanecerá allí para siempre. En los estados transitorios, se producirán fluctuaciones aleatorias, pero finalmente la población de A se extinguirá o alcanzará la fijación. Esta es una de las diferencias más importantes con los procesos deterministas que no pueden modelar eventos aleatorios. El valor esperado y la varianza del número de individuos A X ( t ) en el punto temporal t se pueden calcular cuando se da un estado inicial X (0) = i :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X(t)\mid X(0)=i]&=i\\\operatorname {Var} (X(t)\mid X(0)=i)&={\tfrac {2i}{N}}\left(1-{\tfrac {i}{N}}\right){\frac {1-\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)^{t}}{\frac {2}{N^{2}}}}\end{aligned}}}$

Para obtener una derivación matemática de la ecuación anterior, haga clic en "mostrar" para revelar

Para el valor esperado el cálculo se realiza de la siguiente manera. Escribiendo p = ⁠i/norte⁠ ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X(t)\mid X(t-1)=i]&=(i-1)P_{i,i-1}+iP_{i,i}+(i+1)P_{i,i+1}\\&=2ip(1-p)+i(p^{2}+(1-p)^{2})\\&=i.\end{aligned}}}$

Escribir y , y aplicar la ley de la expectativa total , Al aplicar el argumento repetidamente se obtiene o ${\displaystyle Y=X(t)}$ ${\displaystyle Z=X(t-1)}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [Y]=\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y\mid Z]]=\operatorname {E} [Z].}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X(t)]=\operatorname {E} [X(0)],}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [X(t)\mid X(0)=i]=i.}$

Para la varianza el cálculo se realiza de la siguiente manera. Escribiendo tenemos ${\displaystyle V_{t}=\operatorname {Var} (X(t)\mid X(0)=i),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}&=E\left[X(1)^{2}\mid X(0)=i\right]-\operatorname {E} [X(1)\mid X(0)=i]^{2}\\&=(i-1)^{2}p(1-p)+i^{2}\left(p^{2}+(1-p)^{2}\right)+(i+1)^{2}p(1-p)-i^{2}\\&=2p(1-p)\end{aligned}}}$

Para todos los t , y están distribuidos de forma idéntica, por lo que sus varianzas son iguales. Escribiendo como antes y , y aplicando la ley de varianza total , ${\displaystyle (X(t)\mid X(t-1)=i)}$ ${\displaystyle (X(1)\mid X(0)=i)}$ ${\displaystyle Y=X(t)}$ ${\displaystyle Z=X(t-1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (Y)&=\operatorname {E} [\operatorname {Var} (Y\mid Z)]+\operatorname {Var} (\operatorname {E} [Y\mid Z])\\&=E\left[\left({\frac {2Z}{N}}\right)\left(1-{\frac {Z}{N}}\right)\right]+\operatorname {Var} (Z)\\&=\left({\frac {2\operatorname {E} [Z]}{N}}\right)\left(1-{\frac {\operatorname {E} [Z]}{N}}\right)+\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)\operatorname {Var} (Z).\end{aligned}}}$

Si , obtenemos ${\displaystyle X(0)=i}$

${\displaystyle V_{t}=V_{1}+\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)V_{t-1}.}$

Reescribiendo esta ecuación como

${\displaystyle V_{t}-{\frac {V_{1}}{\frac {2}{N^{2}}}}=\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)\left(V_{t-1}-{\frac {V_{1}}{\frac {2}{N^{2}}}}\right)=\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)^{t-1}\left(V_{1}-{\frac {V_{1}}{\frac {2}{N^{2}}}}\right)}$

rendimientos

${\displaystyle V_{t}=V_{1}{\frac {1-\left(1-{\frac {2}{N^{2}}}\right)^{t}}{\frac {2}{N^{2}}}}}$

como desees.

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La probabilidad de que A alcance la fijación se denomina probabilidad de fijación . Para el proceso de Moran simple, esta probabilidad es x _i = ⁠i/norte⁠ .

Dado que todos los individuos tienen la misma aptitud, también tienen la misma probabilidad de convertirse en el antepasado de toda la población; esta probabilidad es1/norte⁠ y por lo tanto la suma de todas las probabilidades i (para todos los individuos A) es simplemente ⁠i/norte⁠ . El tiempo medio de absorción a partir del estado i viene dado por

${\displaystyle k_{i}=N\left[\sum _{j=1}^{i}{\frac {N-i}{N-j}}+\sum _{j=i+1}^{N-1}{\frac {i}{j}}\right]}$

Para obtener una derivación matemática de la ecuación anterior, haga clic en "mostrar" para revelar

El tiempo medio transcurrido en el estado j al iniciarse en el estado i, que viene dado por

${\displaystyle k_{i}^{j}=\delta _{ij}+P_{i,i-1}k_{i-1}^{j}+P_{i,i}k_{i}^{j}+P_{i,i+1}k_{i+1}^{j}}$

Aquí δ _ij denota el delta de Kroenecker . Esta ecuación recursiva se puede resolver utilizando una nueva variable q _i de modo que y por lo tanto y reescrita ${\displaystyle P_{i,i-1}=P_{i,i+1}=q_{i}}$ ${\displaystyle P_{i,i}=1-2q_{i}}$

${\displaystyle k_{i+1}^{j}=2k_{i}^{j}-k_{i-1}^{j}-{\frac {\delta _{ij}}{q_{i}}}}$

Se utiliza la variable y la ecuación se convierte en ${\displaystyle y_{i}^{j}=k_{i}^{j}-k_{i-1}^{j}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{i+1}^{j}&=y_{i}^{j}-{\frac {\delta _{ij}}{q_{i}}}\\\\\sum _{i=1}^{m}y_{i}^{j}&=(k_{1}^{j}-k_{0}^{j})+(k_{2}^{j}-k_{1}^{j})+\cdots +(k_{m-1}^{j}-k_{m-2}^{j})+(k_{m}^{j}-k_{m-1}^{j})\\&=k_{m}^{j}-k_{0}^{j}\\\sum _{i=1}^{m}y_{i}^{j}&=k_{m}^{j}\\\\y_{1}^{j}&=(k_{1}^{j}-k_{0}^{j})=k_{1}^{j}\\y_{2}^{j}&=y_{1}^{j}-{\frac {\delta _{1j}}{q_{1}}}=k_{1}^{j}-{\frac {\delta _{1j}}{q_{1}}}\\y_{3}^{j}&=k_{1}^{j}-{\frac {\delta _{1j}}{q_{1}}}-{\frac {\delta _{2j}}{q_{2}}}\\&\vdots \\y_{i}^{j}&=k_{1}^{j}-\sum _{r=1}^{i-1}{\frac {\delta _{rj}}{q_{r}}}={\begin{cases}k_{1}^{j}&j\geq i\\k_{1}^{j}-{\frac {1}{q_{j}}}&j\leq i\end{cases}}\\\\k_{i}^{j}&=\sum _{m=1}^{i}y_{m}^{j}={\begin{cases}i\cdot k_{1}^{j}&j\geq i\\i\cdot k_{1}^{j}-{\frac {i-j}{q_{j}}}&j\leq i\end{cases}}\end{aligned}}}$

Sabiendo eso y ${\displaystyle k_{N}^{j}=0}$

${\displaystyle q_{j}=P_{j,j+1}={\frac {j}{N}}{\frac {N-j}{N}}}$

Podemos calcular : ${\displaystyle k_{1}^{j}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{N}^{j}=\sum _{i=1}^{m}y_{i}^{j}=N\cdot k_{1}^{j}&-{\frac {N-j}{q_{j}}}=0\\k_{1}^{j}&={\frac {N}{j}}\end{aligned}}}$

Por lo tanto

${\displaystyle k_{i}^{j}={\begin{cases}{\frac {i}{j}}\cdot k_{j}^{j}&j\geq i\\{\frac {N-i}{N-j}}\cdot k_{j}^{j}&j\leq i\end{cases}}}$

con . Ahora k _i , el tiempo total hasta la fijación a partir del estado i , se puede calcular ${\displaystyle k_{j}^{j}=N}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{i}=\sum _{j=1}^{N-1}k_{i}^{j}&=\sum _{j=1}^{i}k_{i}^{j}+\sum _{j=i+1}^{N-1}k_{i}^{j}\\&=\sum _{j=1}^{i}N{\frac {N-i}{N-j}}+\sum _{j=i+1}^{N-1}N{\frac {i}{j}}\end{aligned}}}$

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Para N grande la aproximación

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }k_{i}\approx -N^{2}\left[(1-x_{i})\ln(1-x_{i})+x_{i}\ln(x_{i})\right]}$

sostiene.

Selección

Si un alelo tiene una ventaja de aptitud sobre el otro alelo, tendrá más probabilidades de ser elegido para la reproducción. Esto se puede incorporar al modelo si los individuos con el alelo A tienen aptitud y los individuos con el alelo B tienen aptitud , donde es el número de individuos del tipo A; describiendo así un proceso general de nacimiento-muerte. La matriz de transición del proceso estocástico tiene forma tridiagonal . Sea , entonces las probabilidades de transición son ${\displaystyle f_{i}>0}$ ${\displaystyle g_{i}>0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r_{i}:=f_{i}/g_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{i,i-1}&={\frac {g_{i}\cdot (N-i)}{f_{i}\cdot i+g_{i}\cdot (N-i)}}\cdot {\frac {i}{N}}={\frac {\frac {N-i}{N}}{r_{i}\cdot {\frac {i}{N}}+{\frac {N-i}{N}}}}\cdot {\frac {i}{N}}\\P_{i,i}&=1-P_{i,i-1}-P_{i,i+1}\\P_{i,i+1}&={\frac {f_{i}\cdot i}{f_{i}\cdot i+g_{i}\cdot (N-i)}}\cdot {\frac {N-i}{N}}={\frac {r_{i}\cdot {\frac {i}{N}}}{r_{i}\cdot {\frac {i}{N}}+{\frac {N-i}{N}}}}\cdot {\frac {N-i}{N}}\\\end{aligned}}}$

La entrada indica la probabilidad de pasar del estado i al estado j . La diferencia con la selección neutral anterior es que ahora se selecciona un mutante, es decir, un individuo con el alelo B, para la procreación con probabilidad ${\displaystyle P_{i,j}}$

${\displaystyle {\frac {r_{i}\cdot {\frac {i}{N}}}{r_{i}\cdot {\frac {i}{N}}+{\frac {N-i}{i}}}},}$

y se elige un individuo con alelo A con probabilidad

${\displaystyle {\frac {\frac {N-i}{i}}{r_{i}\cdot {\frac {i}{N}}+{\frac {N-i}{i}}}},}$

cuando el número de individuos con el alelo B es exactamente i.

También en este caso, las probabilidades de fijación al comenzar en el estado i están definidas por la recurrencia

${\displaystyle x_{i}={\begin{cases}0&i=0\\\beta _{i}x_{i-1}+(1-\alpha _{i}-\beta _{i})x_{i}+\alpha _{i}x_{i+1}&1\leq i\leq N-1\\1&i=N\end{cases}}}$

Y la forma cerrada viene dada por

${\displaystyle x_{i}={\frac {\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{i-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}{\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}}\qquad {\text{(1)}}}$

donde por definición y será solo para el caso general. ${\displaystyle \gamma _{i}=P_{i,i-1}/P_{i,i+1}}$ ${\displaystyle g_{i}/f_{i}}$

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También en este caso se pueden calcular las probabilidades de fijación, pero las probabilidades de transición no son simétricas. Se utiliza la notación y . La probabilidad de fijación se puede definir de forma recursiva y se introduce una nueva variable. ${\displaystyle P_{i,i+1}=\alpha _{i},P_{i,i-1}=\beta _{i},P_{i,i}=1-\alpha _{i}-\beta _{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{i}=\beta _{i}/\alpha _{i}}$ ${\displaystyle y_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\beta _{i}x_{i-1}+(1-\alpha _{i}-\beta _{i})x_{i}+\alpha _{i}x_{i+1}\\\beta _{i}(x_{i}-x_{i-1})&=\alpha _{i}(x_{i+1}-x_{i})\\\gamma _{i}\cdot y_{i}&=y_{i+1}\end{aligned}}}$

Ahora se pueden usar dos propiedades de la definición de la variable y _{i para encontrar una solución en forma cerrada para las probabilidades de fijación:}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{m}y_{i}&=x_{m}&&1\\y_{k}&=x_{1}\cdot \prod _{l=1}^{k-1}\gamma _{l}&&2\\\Rightarrow \sum _{m=1}^{i}y_{m}&=x_{1}+x_{1}\sum _{j=1}^{i-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}=x_{i}&&3\end{aligned}}}$

Combinando (3) y x _N = 1 :

${\displaystyle x_{1}\left(1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}\right)=x_{N}=1.}$

Lo que implica:

${\displaystyle x_{1}={\frac {1}{1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}}}$

Esto a su vez nos da:

${\displaystyle x_{i}={\frac {\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{i-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}{\displaystyle 1+\sum _{j=1}^{N-1}\prod _{k=1}^{j}\gamma _{k}}}}$

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Este caso general donde la aptitud de A y B depende de la abundancia de cada tipo se estudia en la teoría de juegos evolutivos .

Se obtienen resultados menos complejos si se supone una razón de aptitud constante para todos los i. Los individuos del tipo A se reproducen con una tasa constante r y los individuos con el alelo B se reproducen con una tasa 1. Por lo tanto, si A tiene una ventaja de aptitud sobre B, r será mayor que uno, de lo contrario será menor que uno. Por lo tanto, la matriz de transición del proceso estocástico tiene forma tridiagonal y las probabilidades de transición son ${\displaystyle r=1/\gamma _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0,0}&=1\\P_{i,i-1}&={\frac {N-i}{r\cdot i+N-i}}\cdot {\frac {i}{N}}={\frac {\frac {N-i}{N}}{r\cdot {\frac {i}{N}}+{\frac {N-i}{N}}}}\cdot {\frac {i}{N}}\\P_{i,i}&=1-P_{i,i-1}-P_{i,i+1}\\P_{i,i+1}&={\frac {r\cdot i}{r\cdot i+N-i}}\cdot {\frac {N-i}{N}}={\frac {r\cdot {\frac {i}{N}}}{r\cdot {\frac {i}{N}}+{\frac {N-i}{N}}}}\cdot {\frac {N-i}{N}}\\P_{N,N}&=1.\end{aligned}}}$

En este caso es un factor constante para cada composición de la población y por lo tanto la probabilidad de fijación de la ecuación (1) se simplifica a ${\displaystyle \gamma _{i}=1/r}$

${\displaystyle x_{i}={\frac {1-r^{-i}}{1-r^{-N}}}\quad \Rightarrow \quad x_{1}=\rho ={\frac {1-r^{-1}}{1-r^{-N}}}\qquad {\text{(2)}}}$

donde la probabilidad de fijación de un único mutante A en una población compuesta únicamente por B es a menudo de interés y se denota por ρ .

También en el caso de selección, se puede calcular el valor esperado y la varianza del número de individuos A.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X(t)\mid X(t-1)=i]&=ps{\dfrac {1-p}{ps+1}}+i\\\operatorname {Var} (X(t+1)\mid X(t)=i)&=p(1-p){\dfrac {(s+1)+(ps+1)^{2}}{(ps+1)^{2}}}\end{aligned}}}$

donde p = ⁠i/norte⁠ , y r = 1 + s .

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Para el valor esperado el cálculo se realiza de la siguiente manera

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\Delta (1)\mid X(0)=i]&=(i-1-i)\cdot P_{i,i-1}+(i-i)\cdot P_{i,i}+(i+1-i)\cdot P_{i,i+1}\\&=-{\frac {N-i}{ri+N-i}}{\frac {i}{N}}+{\frac {ri}{ri+N-i}}{\frac {N-i}{N}}\\&=-{\frac {(N-i)i}{(ri+N-i)N}}+{\frac {i(N-i)}{(ri+N-i)N}}+{\frac {si(N-i)}{(ri+N-i)N}}\\&=ps{\dfrac {1-p}{ps+1}}\\\operatorname {E} [X(t)\mid X(t-1)=i]&=ps{\dfrac {1-p}{ps+1}}+i\end{aligned}}}$

Para la varianza, el cálculo se realiza de la siguiente manera, utilizando la varianza de un solo paso.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X(t+1)\mid X(t)=i)&=\operatorname {Var} (X(t))+\operatorname {Var} (\Delta (t+1)\mid X(t)=i)\\&=0+E\left[\Delta (t+1)^{2}\mid X(t)=i\right]-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&=(i-1-i)^{2}\cdot P_{i,i-1}+(i-i)^{2}\cdot P_{i,i}+(i+1-i)^{2}\cdot P_{i,i+1}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&=P_{i,i-1}+P_{i,i+1}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&={\frac {(N-i)i}{(ri+N-i)N}}+{\frac {(N-i)i(1+s)}{(ri+N-i)N}}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&=i(N-i){\frac {2+s}{(ri+N-i)N}}-\operatorname {E} [\Delta (t+1)\mid X(t)=i]^{2}\\&=i(N-i){\frac {2+s}{(ri+N-i)N}}-\left(ps{\dfrac {1-p}{ps+1}}\right)^{2}\\&=p(1-p){\frac {2+s(ps+1)}{(ps+1)^{2}}}-p(1-p){\frac {ps^{2}(1-p)}{(ps+1)^{2}}}\\&=p(1-p){\dfrac {2+2ps+s+p^{2}s^{2}}{(ps+1)^{2}}}\end{aligned}}}$

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Tasa de evolución

En una población de todos los individuos B , un único mutante A se apoderará de toda la población con la probabilidad

${\displaystyle \rho ={\frac {1-r^{-1}}{1-r^{-N}}}.\qquad {\text{(2)}}}$

Si la tasa de mutación (para pasar del alelo B al alelo A ) en la población es u , entonces la tasa con la que un miembro de la población mutará a A está dada por N × u y la tasa con la que toda la población pasa de todo B a todo A es la tasa en la que surge un solo mutante A multiplicado por la probabilidad de que se apodere de la población ( probabilidad de fijación ):

${\displaystyle R=N\cdot u\cdot \rho =u\quad {\text{if}}\quad \rho ={\frac {1}{N}}.}$

Por lo tanto, si la mutación es neutral (es decir, la probabilidad de fijación es solo 1/ N ), entonces la tasa con la que surge un alelo y se apodera de una población es independiente del tamaño de la población y es igual a la tasa de mutación. Este importante resultado es la base de la teoría neutral de la evolución y sugiere que el número de mutaciones puntuales observadas en los genomas de dos especies diferentes simplemente vendría dado por la tasa de mutación multiplicada por dos veces el tiempo transcurrido desde la divergencia . Por lo tanto, la teoría neutral de la evolución proporciona un reloj molecular , dado que se cumplen los supuestos, lo que puede no ser el caso en la realidad.

Véase también

• Selección débil

Referencias

1. Moran, PAP (1958). "Procesos aleatorios en genética". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 54 (1): 60–71. doi :10.1017/S0305004100033193.

Lectura adicional

• Nowak, Martin A. (2006). Dinámica evolutiva: exploración de las ecuaciones de la vida . Belknap Press. ISBN 978-0-674-02338-3.
• Moran, Patrick Alfred Pierce (1962). Los procesos estadísticos de la teoría evolutiva . Oxford: Clarendon Press.

Enlaces externos

• "Dinámica evolutiva en gráficos".