En teoría de números , el primo HP ( n ) de un entero n mayor que 1 es el número primo obtenido al factorizar repetidamente la concatenación creciente de factores primos incluyendo repeticiones. La m ésima etapa intermedia en el proceso de determinación de HP ( n ) se designa HPn ( m ). Por ejemplo, HP (10) = 773, ya que 10 se factoriza como 2×5 dando HP10 (1) = 25, 25 se factoriza como 5×5 dando HP10 (2) = HP25 (1) = 55, 55 = 5×11 implica HP10 (3) = HP25 (2) = HP55 (1) = 511, y 511 = 7×73 da HP10 (4) = HP25 (3) = HP55 (2) = HP511 (1) = 773, un número primo. Algunas fuentes utilizan la notación alternativa HPn para el primo casero, omitiendo los paréntesis. Las investigaciones sobre los primos caseros constituyen un tema secundario menor en la teoría de números. Sus preguntas han servido como campos de prueba para la implementación de algoritmos eficientes para factorizar números compuestos , pero el tema es realmente uno de matemáticas recreativas .
El problema computacional pendiente a partir de 2016 [actualizar]es si HP(49) = HP(77) se puede calcular en la práctica. Como cada iteración es mayor que la anterior hasta que se alcanza un primo, las factorizaciones generalmente se vuelven más difíciles mientras no se alcance un final. A partir de agosto de 2016, la búsqueda de HP(49) se refiere a la factorización de un factor compuesto[actualizar] de 251 dígitos de HP49(119) después de que se lograra una ruptura el 3 de diciembre de 2014 con el cálculo de HP49(117). [1] Esto siguió a la factorización de HP49(110) el 8 de septiembre de 2012 [2] y de HP49(104) el 11 de enero de 2011, y cálculos anteriores que se extendieron durante la mayor parte de una década que hicieron un uso extensivo de recursos computacionales. Los detalles de la historia de esta búsqueda, así como las secuencias que conducen a los primos de todos los demás números hasta el 100, se mantienen en el sitio web worldofnumbers de Patrick De Geest. Una wiki asociada principalmente con la Gran Búsqueda de Primos de Mersenne en Internet mantiene los datos conocidos completos hasta el 1000 en base 10 y también tiene listas para las bases 2 a 9.
Los primos en HP( n ) son
Aparte de los problemas computacionales a los que se les ha dedicado tanto tiempo, parece que la prueba absoluta de la existencia de un primo para cualquier número específico podría implicar su cálculo efectivo. En términos puramente heurísticos , la existencia tiene una probabilidad de 1 para todos los números, pero tales heurísticas hacen suposiciones sobre números extraídos de una amplia variedad de procesos que, aunque probablemente sean correctos, no alcanzan el estándar de prueba que generalmente se requiere para las afirmaciones matemáticas.
Aunque es poco probable que la idea no haya sido concebida en numerosas ocasiones en el pasado, la primera referencia impresa parece ser un artículo escrito en 1990 en una pequeña y ahora desaparecida publicación llamada Recreational and Educational Computation . La misma persona que escribió ese artículo, Jeffrey Heleen, volvió a tratar el tema en el volumen 1996-7 del Journal of Recreational Mathematics en un artículo titulado Family Numbers: Constructing Primes By Prime Factor Splicing , que incluía todos los resultados HP( n ) para n a 100 excepto los que aún no se habían resuelto. También incluía una lista ahora obsoleta de números de 3 dígitos no resueltos (los 58 enumerados se han reducido exactamente a la mitad a partir de agosto de 2012). Parece que este artículo es en gran medida responsable de provocar intentos por parte de otros para resolver el caso que involucra 49 y 77. El artículo utiliza los términos hija y padre para describir compuestos y los primos a los que conducen, con números que conducen al mismo primo hogar llamados hermanos (incluso si uno es una iteración de otro), y llama al número de iteraciones requeridas para llegar a un padre, la persistencia de un número bajo el mapa para obtener un primo hogar, el número de vidas . El breve artículo no hace mucho más que indicar los orígenes del tema, definir términos, dar un par de ejemplos, mencionar maquinaria y métodos utilizados en ese momento y luego proporcionar tablas. Parece que el Sr. De Geest es responsable de la notación que se usa ahora. La OEIS también usa la sencillez como el término para el número de números, incluido el primo mismo, que tienen un cierto primo como su primo hogar.