Concepto de matemáticas
En matemáticas , los polinomios de Bessel son una secuencia ortogonal de polinomios . Hay varias definiciones diferentes pero estrechamente relacionadas. La definición preferida por los matemáticos viene dada por la serie [1] : 101
Otra definición, preferida por los ingenieros eléctricos, se conoce a veces como polinomios inversos de Bessel [2] : 8 [3] : 15
Los coeficientes de la segunda definición son los mismos que los de la primera pero en orden inverso. Por ejemplo, el polinomio de Bessel de tercer grado es
mientras que el polinomio inverso de Bessel de tercer grado es
El polinomio inverso de Bessel se utiliza en el diseño de filtros electrónicos Bessel .
Propiedades
Definición en términos de funciones de Bessel
El polinomio de Bessel también se puede definir utilizando funciones de Bessel de las que el polinomio toma su nombre.
donde K n ( x ) es una función de Bessel modificada del segundo tipo , y n ( x ) es el polinomio ordinario y θ n ( x ) es el polinomio inverso. [2] : 7, 34 Por ejemplo: [4]
Definición como función hipergeométrica
El polinomio de Bessel también puede definirse como una función hipergeométrica confluente [5] : 8
Una expresión similar es válida para los polinomios de Bessel generalizados (ver más abajo): [2] : 35
El polinomio inverso de Bessel se puede definir como un polinomio de Laguerre generalizado :
de lo que se deduce que también puede definirse como una función hipergeométrica:
donde (−2 n ) n es el símbolo de Pochhammer (factorial ascendente).
función generadora
Los polinomios de Bessel, con índice desplazado, tienen la función generadora
Derivando con respecto a , cancelando , se obtiene la función generadora de los polinomios
También existe una función generadora similar para los polinomios: [1] : 106
Al configurar , se tiene la siguiente representación para la función exponencial : [1] : 107
recursividad
El polinomio de Bessel también se puede definir mediante una fórmula de recursividad:
y
Ecuación diferencial
El polinomio de Bessel obedece a la siguiente ecuación diferencial:
y
Ortogonalidad
Los polinomios de Bessel son ortogonales con respecto al peso integrado sobre el círculo unitario del plano complejo. [1] : 104 En otras palabras, si ,
Generalización
forma explícita
En la literatura se ha sugerido una generalización de los polinomios de Bessel, de la siguiente manera:
los polinomios inversos correspondientes son
Los coeficientes explícitos de los polinomios son: [1] : 108
En consecuencia, los polinomios se pueden escribir explícitamente de la siguiente manera:
Para la función de ponderación
son ortogonales, para la relación
se cumple para m ≠ n y c una curva que rodea el punto 0.
Se especializan en los polinomios de Bessel para α = β = 2, en cuya situación ρ( x ) = exp(−2/ x ).
Fórmula de Rodrigues para polinomios de Bessel
La fórmula de Rodrigues para los polinomios de Bessel como soluciones particulares de la ecuación diferencial anterior es:
donde un(α, β)
norteson coeficientes de normalización.
Polinomios de Bessel asociados
Según esta generalización tenemos la siguiente ecuación diferencial generalizada para polinomios de Bessel asociados:
dónde . Las soluciones son,
Ceros
Si se denotan los ceros de as y el de by , entonces existen las siguientes estimaciones: [2] : 82
y
para todos . Además, todos estos ceros tienen parte real negativa.
Se pueden obtener resultados más nítidos si se recurre a teoremas más potentes sobre las estimaciones de ceros de polinomios (más concretamente, el teorema de la parábola de Saff y Varga, o técnicas de ecuaciones diferenciales). [2] : 88 [6]
Un resultado es el siguiente: [7]
Valores particulares
Los polinomios de Bessel hasta son [8]
Ningún polinomio de Bessel se puede factorizar en polinomios de grado inferior con coeficientes racionales. [9]
Los polinomios de Bessel inversos se obtienen invirtiendo los coeficientes. De manera equivalente, . Esto da como resultado lo siguiente:
Ver también
Referencias
- ^ abcde Krall, HL; Frink, O. (1948). "Una nueva clase de polinomios ortogonales: los polinomios de Bessel". Trans. América. Matemáticas. Soc . 65 (1): 100-115. doi : 10.2307/1990516 .
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- ^ Berg, cristiano; Vignat, Christophe (2008). "Coeficientes de linealización de polinomios de Bessel y propiedades de las distribuciones t de Student" (PDF) . Aproximación constructiva . 27 : 15–32. doi :10.1007/s00365-006-0643-6 . Consultado el 16 de agosto de 2006 .
- ^ Ejemplo de Wolfram Alpha
- ^ Dita, Petre; Grama, Nicolae (14 de mayo de 1997). "Sobre el método de descomposición de Adomian para resolver ecuaciones diferenciales". arXiv : solv-int/9705008 .
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- ^ Filaseta, Michael; Trifinov, Ognian (2 de agosto de 2002). "La irreductibilidad de los polinomios de Bessel". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 2002 (550): 125-140. CiteSeerX 10.1.1.6.9538 . doi :10.1515/crll.2002.069.
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- Fakhri, H.; Chenaghlou, A. (2006). "Operadores de escalera y relaciones de recursividad para los polinomios de Bessel asociados". Letras de Física A. 358 (5–6): 345–353. Código bibliográfico : 2006PhLA..358..345F. doi :10.1016/j.physleta.2006.05.070.
- Romano, S. (1984). El cálculo umbral (Los polinomios de Bessel §4.1.7) . Nueva York: Academic Press. ISBN 978-0-486-44139-9.
enlaces externos