En matemáticas , se dice que un orden parcial o un orden total < en un conjunto es denso si, para todo y en para el cual , existe un en tal que . Es decir, para dos elementos cualesquiera, uno menor que el otro, existe otro elemento entre ellos. Para los órdenes totales esto se puede simplificar a "para dos elementos cualesquiera distintos, existe otro elemento entre ellos", ya que todos los elementos de un orden total son comparables .
Los números racionales como conjunto ordenado linealmente son un conjunto densamente ordenado en este sentido, al igual que los números algebraicos , los números reales , los racionales diádicos y las fracciones decimales . De hecho, toda extensión del anillo ordenado de Arquímedes de los números enteros es un conjunto densamente ordenado.
Para el elemento , debido a la propiedad de Arquímedes, si , existe un entero más grande con , y si , , y existe un entero más grande con . Como resultado, . Para dos elementos cualesquiera con , y . Por lo tanto es denso.
Por otra parte, el ordenamiento lineal de los números enteros no es denso.
Georg Cantor demostró que cada dos conjuntos numerables densos totalmente ordenados y no vacíos sin límites inferiores o superiores son isomorfos en orden . [1] Esto hace que la teoría de órdenes lineales densos sin límites sea un ejemplo de una teoría ω-categórica donde ω es el ordinal límite más pequeño . Por ejemplo, existe un isomorfismo de orden entre los números racionales y otros conjuntos numerables densamente ordenados, incluidos los racionales diádicos y los números algebraicos . Las pruebas de estos resultados utilizan el método de ida y vuelta . [2]
La función de signo de interrogación de Minkowski se puede utilizar para determinar los isomorfismos de orden entre los números algebraicos cuadráticos y los números racionales , y entre los racionales y los racionales diádicos .
Se dice que cualquier relación binaria R es densa si, para todos los x e y relacionados con R , existe un z tal que x y z y también z e y están relacionados con R. Formalmente:
Las condiciones suficientes para que una relación binaria R en un conjunto X sea densa son:
Ninguna de ellas es necesaria . Por ejemplo, existe una relación R que no es reflexiva sino densa. Una relación no vacía y densa no puede ser antitransitiva .
Un orden parcial estricto < es un orden denso si y solo si < es una relación densa. Una relación densa que también es transitiva se dice que es idempotente .