Sistema lagrangiano

En matemáticas, un sistema lagrangiano es un par ( Y , L ) , que consiste en un haz de fibras suaves Y → X y una densidad lagrangiana L , que produce el operador diferencial de Euler-Lagrange que actúa sobre secciones de Y → X .

En mecánica clásica , muchos sistemas dinámicos son sistemas lagrangianos. El espacio de configuración de un sistema lagrangiano de este tipo es un haz de fibras sobre el eje del tiempo . En particular, si se fija un marco de referencia. En la teoría clásica de campos , todos los sistemas de campos son lagrangianos. ${\displaystyle Q\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Q=\mathbb {R} \times M}$

Lagrangianos y operadores de Euler-Lagrange

Una densidad lagrangiana L (o, simplemente, un lagrangiano ) de orden r se define como una n -forma , n = dim X , en la variedad de jets de orden r J ^r Y de Y .

Un lagrangiano L puede introducirse como un elemento del bicomplejo variacional del álgebra graduada diferencial O ^∗ _∞ ( Y ) de formas exteriores en variedades jet de Y → X . El operador colímite de este bicomplejo contiene el operador variacional δ que, actuando sobre L , define el operador de Euler-Lagrange asociado δL .

En coordenadas

Dadas las coordenadas del haz x ^λ , y ⁱ en un haz de fibras Y y las coordenadas adaptadas x ^λ , y ⁱ , y ⁱ _Λ , (Λ = ( λ ₁ , ..., λ _k ) , |Λ| = k ≤ r ) en las variedades de chorro J ^r Y , un lagrangiano L y su operador de Euler-Lagrange se leen

${\displaystyle L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\Lambda }^{i})\,d^{n}x,}$

${\displaystyle \delta L=\delta _{i}{\mathcal {L}}\,dy^{i}\wedge d^{n}x,\qquad \delta _{i}{\mathcal {L}}=\partial _{i}{\mathcal {L}}+\sum _{|\Lambda |}(-1)^{|\Lambda |}\,d_{\Lambda }\,\partial _{i}^{\Lambda }{\mathcal {L}},}$

dónde

${\displaystyle d_{\Lambda }=d_{\lambda _{1}}\cdots d_{\lambda _{k}},\qquad d_{\lambda }=\partial _{\lambda }+y_{\lambda }^{i}\partial _{i}+\cdots ,}$

denotan las derivadas totales.

Por ejemplo, un lagrangiano de primer orden y su operador de Euler-Lagrange de segundo orden toman la forma

${\displaystyle L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\lambda }^{i})\,d^{n}x,\qquad \delta _{i}L=\partial _{i}{\mathcal {L}}-d_{\lambda }\partial _{i}^{\lambda }{\mathcal {L}}.}$

Ecuaciones de Euler-Lagrange

El núcleo de un operador de Euler-Lagrange proporciona las ecuaciones de Euler-Lagrange δL = 0 .

Cohomología y teoremas de Noether

La cohomología del bicomplejo variacional conduce a la llamada fórmula variacional.

${\displaystyle dL=\delta L+d_{H}\Theta _{L},}$

dónde

${\displaystyle d_{H}\Theta _{L}=dx^{\lambda }\wedge d_{\lambda }\phi ,\qquad \phi \in O_{\infty }^{*}(Y)}$

es el diferencial total y θ _L es un equivalente de Lepage de L . El primer teorema de Noether y el segundo teorema de Noether son corolarios de esta fórmula variacional.

Colectores graduados

Extendido a variedades graduadas , el bicomplejo variacional proporciona una descripción de sistemas lagrangianos graduados de variables pares e impares. ^[1]

Formulaciones alternativas

De otra manera, se introducen los lagrangianos, los operadores de Euler-Lagrange y las ecuaciones de Euler-Lagrange en el marco del cálculo de variaciones .

Mecánica clásica

En mecánica clásica, las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden sobre una variedad M o varios haces de fibras Q sobre . Una solución de las ecuaciones de movimiento se denomina ecuación de movimiento . ^{[2] [3]} ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Véase también

• Mecánica lagrangiana
• Cálculo de variaciones
• Teorema de Noether
• Identidades de Noether
• Paquete de chorro
• Jet (matemáticas)
• Bicomplejo variacional

Referencias

1. Sardanashvili 2013
2. Arnold 1989, pág. 83
3. Giachetta, Mangiarotti y Sardanashvily 2011, pág. 7

• Arnold, VI (1989), Métodos matemáticos de mecánica clásica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 60 (segunda edición), Springer-Verlag , ISBN 0-387-96890-3
• Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (1997). Nuevos métodos lagrangianos y hamiltonianos en teoría de campos . World Scientific . ISBN 981-02-1587-8.
• Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (2011). Formulación geométrica de la mecánica clásica y cuántica . World Scientific. doi :10.1142/7816. hdl :11581/203967. ISBN . 978-981-4313-72-8.
• Olver, P. (1993). Aplicaciones de los grupos de Lie a ecuaciones diferenciales (2.ª edición). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94007-3.
• Sardanashvily, G. (2013). "Formalismo lagrangiano graduado". Int. J. Geom. Methods Mod. Phys . 10 (5). World Scientific: 1350016. arXiv : 1206.2508 . doi :10.1142/S0219887813500163. ISSN  0219-8878.

Enlaces externos

• Sardanashvily, G. (2009). "Fibras, variedades de chorro y teoría de Lagrange. Lecciones para teóricos". arXiv : 0908.1886 . Código Bibliográfico :2009arXiv0908.1886S. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )