En la teoría matemática de nudos , un invariante de tipo finito , o invariante de Vassiliev (llamado así en honor a Victor Anatolyevich Vassiliev ), es un invariante de nudo que puede extenderse (de una manera precisa que se describirá) a una invariante de ciertos nudos singulares que desaparece en nudos singulares con m + 1 singularidades y no desaparece en algún nudo singular con 'm' singularidades. Entonces se dice que es de tipo u orden m .
Damos la definición combinatoria de invariante de tipo finito debida a Goussarov y (de forma independiente) a Joan Birman y Xiao-Song Lin. Sea V un invariante de nudo. Defina V 1 como definido en un nudo con una singularidad transversal.
Considere un nudo K como una incrustación suave de un círculo en . Sea K' una inmersión suave de un círculo con un punto doble transversal. Entonces
donde se obtiene de K resolviendo el punto doble empujando hacia arriba un hilo sobre el otro, y se obtiene de manera similar empujando el hilo opuesto sobre el otro. Podemos hacer esto para mapas con dos puntos dobles transversales, tres puntos dobles transversales, etc., usando la relación anterior. Para que V sea de tipo finito significa precisamente que debe haber un entero positivo m tal que V desaparezca en aplicaciones con puntos dobles transversales.
Además, tenga en cuenta que existe una noción de equivalencia de nudos con singularidades que son puntos dobles transversales y V debe respetar esta equivalencia. También existe una noción de invariante de tipo finito para 3 variedades .
El invariante de nudos de Vassiliev no trivial más simple viene dado por el coeficiente del término cuadrático del polinomio de Alexander-Conway . Es una invariante de orden dos. Módulo dos, es igual al invariante Arf .
Cualquier coeficiente del invariante de Kontsevich es un invariante de tipo finito.
Los invariantes de Milnor son invariantes de tipo finito de enlaces de cadena . [1]
Michael Polyak y Oleg Viro dieron una descripción de los primeros invariantes no triviales de órdenes 2 y 3 mediante representaciones de diagramas de Gauss . Mikhail N. Goussarov ha demostrado que todas las invariantes de Vassiliev pueden representarse de esa manera.
En 1993, Maxim Kontsevich demostró el siguiente teorema importante sobre las invariantes de Vassiliev: Para cada nudo se puede calcular una integral, ahora llamada integral de Kontsevich , que es una invariante universal de Vassiliev , lo que significa que cada invariante de Vassiliev se puede obtener a partir de ella mediante una evaluación adecuada. . Actualmente no se sabe si la integral de Kontsevich, o la totalidad de las invariantes de Vassiliev, es una invariante de nudo completa . El cálculo de la integral de Kontsevich, que tiene valores en un álgebra de diagramas de cuerdas, resulta bastante difícil y hasta ahora sólo se ha realizado para unas pocas clases de nudos. No existe un invariante de tipo finito de grado menor que 11 que distinga los nudos mutantes . [2]
