Ajuste ideal

En álgebra conmutativa , los ideales de ajuste de un módulo finitamente generado sobre un anillo conmutativo describen las obstrucciones a la generación del módulo por un número dado de elementos. Fueron introducidos por Hans Fitting  (1936).

Definición

Si M es un módulo finitamente generado sobre un anillo conmutativo R generado por elementos m ₁ ,..., m _n con relaciones

${\displaystyle a_{j1}m_{1}+\cdots +a_{jn}m_{n}=0\ ({\text{for }}j=1,2,\dots )}$

entonces el ideal de ajuste i de M es generado por los menores (determinantes de submatrices) de orden de la matriz . Los ideales de ajuste no dependen de la elección de generadores y relaciones de M . ${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{i}(M)}$ ${\displaystyle n-i}$ ${\displaystyle a_{jk}}$

Algunos autores definen el ideal de ajuste como el primer ideal de ajuste distinto de cero . ${\displaystyle I(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{i}(M)}$

Propiedades

Los ideales de ajuste están aumentando

${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{0}(M)\subseteq \operatorname {Fitt} _{1}(M)\subseteq \operatorname {Fitt} _{2}(M)\subseteq \cdots }$

Si M puede ser generado por n elementos entonces Fitt _n ( M ) =  R , y si R es local se cumple la recíproca. Tenemos Fitt ₀ ( M ) ⊆ Ann( M ) (el aniquilador de  M ), y Ann( M )Fitt _i ( M ) ⊆ Fitt _{i −1} ( M ), así que en particular si M puede ser generado por n elementos entonces Ann( M ) ⁿ  ⊆ Fitt ₀ ( M ).

Ejemplos

Si M está libre de rango n entonces los ideales de ajuste son cero para i < n y R para  i  ≥  n . ${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{i}(M)}$

Si M es un grupo abeliano finito de orden (considerado como un módulo sobre los enteros) entonces el ideal de ajuste es el ideal . ${\displaystyle |M|}$ ${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{0}(M)}$ ${\displaystyle (|M|)}$

El polinomio de Alexander de un nudo es un generador del ideal de ajuste de la primera homología de la cubierta abeliana infinita del complemento del nudo.

Imagen adecuada

El ideal de ajuste cero también se puede utilizar para dar una variante de la noción de imagen de un morfismo en teoría de esquemas , una variante que se comporta bien en familias. Específicamente, dado un morfismo finito de esquemas noetherianos , el módulo es coherente , por lo que podemos definirlo como un haz coherente de ideales; el subesquema cerrado correspondiente de se llama imagen de ajuste de f . ^{[1] [ cita requerida ]} ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{0}(f_{*}{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle Y}$

Referencias

1. Eisenbud, David ; Harris, Joe . La geometría de los esquemas. Springer . pág. 219. ISBN 0-387-98637-5.

• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, Sr.  1322960
• Montaje, Hans (1936), "Die Determinantenideale eines Moduls", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 46 : 195–228, ISSN  0012-0456
• Mazur, Barry ; Wiles, Andrew (1984), "Campos de clases de extensiones abelianas de Q ", Inventiones Mathematicae , 76 (2): 179–330, doi :10.1007/BF01388599, ISSN  0020-9910, MR  0742853
• Northcott, DG (1976), Resoluciones libres finitas , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-60487-1, Sr.  0460383