Cilindro de mapeo

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , el cilindro de aplicación ^[1] de una función continua entre espacios topológicos y es el cociente ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle M_{f}=(([0,1]\times X)\amalg Y)\,/\,\sim }$

donde denota la unión disjunta , y ~ es la relación de equivalencia generada por ${\displaystyle \amalg }$

${\displaystyle (0,x)\sim f(x)\quad {\text{for each }}x\in X.}$

Es decir, el cilindro de mapeo se obtiene pegando un extremo de a a través del mapa . Nótese que la "parte superior" del cilindro es homeomorfa a , mientras que la "parte inferior" es el espacio . Es común escribir para , y usar la notación o para la construcción del cilindro de mapeo. Es decir, se escribe ${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle X\times [0,1]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{1\}\times X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)\subset Y}$ ${\displaystyle Mf}$ ${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle \sqcup _{f}}$ ${\displaystyle \cup _{f}}$

${\displaystyle Mf=([0,1]\times X)\cup _{f}Y}$

con el símbolo de copa subscrito que denota la equivalencia. El cilindro de mapeo se usa comúnmente para construir el cono de mapeo , que se obtiene al colapsar un extremo del cilindro en un punto. Los cilindros de mapeo son fundamentales para la definición de cofibraciones . ${\displaystyle Cf}$

Propiedades básicas

La Y inferior es una retracción de deformación de . La proyección se divide (a través de ), y la retracción de deformación está dada por: ${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle M_{f}\to Y}$ ${\displaystyle Y\ni y\mapsto y\in Y\subset M_{f}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R:M_{f}\times I\rightarrow M_{f}}$

${\displaystyle ([t,x],s)\mapsto [s\cdot t,x],(y,s)\mapsto y}$

(donde los puntos permanecen fijos porque para todos ). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [0,x]=[s\cdot 0,x]}$ ${\displaystyle s}$

El mapa es una equivalencia de homotopía si y sólo si el "top" es una fuerte retracción de deformación de . ^[2] Se puede elaborar una fórmula explícita para la fuerte retracción de deformación. ^[3] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \{1\}\times X}$ ${\displaystyle M_{f}}$

Ejemplos

Cilindro de mapeo de un haz de fibras

Para un haz de fibras con fibra , el cilindro de mapeo ${\displaystyle \pi :P\to X}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle M_{\pi }=(([0,1]\times P)\coprod X)/\sim }$

tiene la relación de equivalencia

${\displaystyle (0,p_{x})\sim (0,q_{x})}$

para . Entonces, hay un mapa canónico que envía un punto al punto , dando un haz de fibras ${\displaystyle p_{x},q_{x}\in F_{x}}$ ${\displaystyle [i,p_{x},x]\in M_{\pi }}$ ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle p:M_{\pi }\to X}$

cuya fibra es el cono . Para ver esto, observe que la fibra sobre un punto es el espacio cociente. ${\displaystyle CF}$ ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle [0,1]\times P\coprod \{x\}/\sim }$

donde cada punto es equivalente. ${\displaystyle \{0\}\times P}$

Interpretación

El cilindro de mapeo puede verse como una forma de reemplazar un mapa arbitrario por una cofibración equivalente , en el siguiente sentido:

Dado un mapa , el cilindro de mapeo es un espacio , junto con una cofibración y una equivalencia de homotopía sobreyectiva (de hecho, Y es una retracción de deformación de ), tal que la composición es igual a f . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\to M_{f}}$ ${\displaystyle M_{f}\to Y}$ ${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle X\to M_{f}\to Y}$

De este modo, el espacio Y se reemplaza por un espacio equivalente de homotopía , y la función f por una función elevada . De manera equivalente, el diagrama ${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}}$

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

se reemplaza con un diagrama

${\displaystyle {\tilde {f}}\colon X\to M_{f}}$

junto con una equivalencia de homotopía entre ellos.

La construcción sirve para reemplazar cualquier mapa de espacios topológicos por una cofibración equivalente de homotopía.

Nótese que, puntualmente, una cofibración es una inclusión cerrada .

Aplicaciones

Los cilindros de mapeo son herramientas homotópicas bastante comunes. Uno de los usos de los cilindros de mapeo es aplicar teoremas sobre inclusiones de espacios a mapas generales, que podrían no ser inyectivos .

En consecuencia, los teoremas o técnicas (como la homología , la cohomología o la teoría de homotopía ) que solo dependen de la clase de homotopía de los espacios y mapas involucrados se pueden aplicar a con el supuesto de que y que es en realidad la inclusión de un subespacio . ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X\subset Y}$ ${\displaystyle f}$

Otro atractivo más intuitivo de la construcción es que concuerda con la imagen mental habitual de una función como "enviar" puntos de a puntos de y, por lo tanto, incrustarse dentro de ellos, a pesar del hecho de que la función no necesita ser uno a uno. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$

Aplicación e interpretación categórica

Se puede utilizar el cilindro de mapeo para construir colimites de homotopía : ^{[ cita requerida ]} esto se desprende de la afirmación general de que cualquier categoría con todos los expulsores y coecualizadores tiene todos los colimites . Es decir, dado un diagrama, reemplace los mapas por cofibraciones (usando el cilindro de mapeo) y luego tome el límite puntual ordinario (uno debe tener un poco más de cuidado, pero los cilindros de mapeo son un componente).

Por el contrario, el cilindro de mapeo es el empuje de homotopía del diagrama donde y . ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle {\text{id}}_{X}\colon X\to X}$

Telescopio cartográfico

Dada una secuencia de mapas

${\displaystyle X_{1}{\xrightarrow {f_{1}}}X_{2}{\xrightarrow {f_{2}}}X_{3}\to \cdots }$

El telescopio cartográfico es el límite directo homotópico . Si los mapas son todos cofibraciones (como para los grupos ortogonales ), entonces el límite directo es la unión, pero en general se debe utilizar el telescopio cartográfico. El telescopio cartográfico es una secuencia de cilindros cartográficos, unidos de extremo a extremo. La imagen de la construcción parece una pila de cilindros cada vez más grandes, como un telescopio. ${\displaystyle O(n)\subset O(n+1)}$

Formalmente se define como

${\displaystyle {\Bigl (}\coprod _{i}[0,1]\times X_{i}{\Bigr )}/((0,x_{i})\sim (1,f_{i}(x_{i}))).}$

Véase también

• Cofibración
• Cilindro de mapeo (álgebra homológica)
• Colímite de homotopía
• Espacio de ruta de mapeo , que puede verse como el cocilindro de mapeo

Referencias

1. Hatcher, Allen (2003). Topología algebraica . Cambridge: Cambridge Univ. Pr. p. 2. ISBN 0-521-79540-0.
2. Hatcher, Allen (2003). Topología algebraica . Cambridge: Cambridge Univ. Pr. p. 15. ISBN 0-521-79540-0.
3. Aguado, Alex. "Una breve nota sobre el mapeo de cilindros". arXiv : 1206.1277 [math.AT].

• May, JP (1999). Un curso conciso de topología algebraica. The University of Chicago Press. ISBN 978-0-2265-1183-2.