En álgebra , los divisores elementales de un módulo sobre un dominio ideal principal (PID) ocurren en una forma del teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal .
Si es un PID y un módulo generado finitamente, entonces M es isomorfo a una suma finita de la forma
donde son ideales primarios distintos de cero .
La lista de ideales primarios es única hasta el orden (pero un ideal determinado puede estar presente más de una vez, por lo que la lista representa un conjunto múltiple de ideales primarios); los elementos son únicos sólo hasta la asociación y se denominan divisores elementales . Tenga en cuenta que en un PID, los ideales primarios distintos de cero son potencias de ideales primos, por lo que los divisores elementales pueden escribirse como potencias de elementos irreducibles. El número entero no negativo se denomina rango libre o número de Betti del módulo .
El módulo se determina hasta el isomorfismo especificando su rango libre r , y para la clase de elementos irreducibles asociados p y cada entero positivo k el número de veces que p k ocurre entre los divisores elementales. Los divisores elementales se pueden obtener a partir de la lista de factores invariantes del módulo descomponiendo cada uno de ellos en la medida de lo posible en factores primos relativamente (no unitarios) por pares, que serán potencias de elementos irreducibles. Esta descomposición corresponde a descomponer al máximo cada submódulo correspondiente a un factor invariante utilizando el teorema del resto chino para R. Por el contrario, conociendo el multiconjunto M de divisores elementales, los factores invariantes se pueden encontrar, comenzando por el final (que es múltiplo de todos los demás), de la siguiente manera. Para cada elemento irreducible p tal que alguna potencia p k ocurra en M , tome la potencia más alta, eliminándola de M y multiplique estas potencias juntas para todas las (clases de asociadas) p para obtener el factor invariante final; siempre que M no esté vacío, repita para encontrar los factores invariantes anteriores.
