Un diseño esférico , parte de la teoría del diseño combinatorio en matemáticas , es un conjunto finito de N puntos en la unidad d -dimensional d -esfera S d tal que el valor promedio de cualquier polinomio f de grado t o menor en el conjunto es igual al valor promedio de f en toda la esfera (es decir, la integral de f sobre S d dividida por el área o medida de S d ). A un conjunto de este tipo se le suele llamar diseño t esférico para indicar el valor de t , que es un parámetro fundamental. El concepto de diseño esférico se debe a Delsarte, Goethals y Seidel, [1] aunque estos objetos se entendían como ejemplos particulares de fórmulas de cubatura anteriormente.
Los diseños esféricos pueden ser valiosos en la teoría de aproximación , en las estadísticas para el diseño experimental , en la combinatoria y en la geometría . El problema principal es encontrar ejemplos, dados d y t , que no sean demasiado grandes; sin embargo, dichos ejemplos pueden ser difíciles de conseguir. Los diseños t esféricos también han sido apropiados recientemente en la mecánica cuántica en la forma de diseños t cuánticos con varias aplicaciones a la teoría de la información cuántica y la computación cuántica .
La existencia y estructura de diseños esféricos en el círculo fueron estudiados en profundidad por Hong. [2] Poco después, Seymour y Zaslavsky [3] demostraron que tales diseños existen de todos los tamaños suficientemente grandes; es decir, dados los enteros positivos d y t , hay un número N ( d , t ) tal que para cada N ≥ N ( d , t ) existe un t -diseño esférico de N puntos en dimensión d . Sin embargo, su prueba no dio idea de cuán grande es N ( d , t ).
Mimura encontró de manera constructiva condiciones en términos de número de puntos y dimensión que caracterizan exactamente cuándo existen diseños esféricos 2. Las colecciones de líneas equiangulares de tamaño máximo (hasta la identificación de líneas como puntos antípodas en la esfera) son ejemplos de diseños esféricos 5 de tamaño mínimo. Hay muchos diseños esféricos pequeños esporádicos; muchos de ellos están relacionados con acciones de grupos finitos en la esfera.
En 2013, Bondarenko, Radchenko y Viazovska [4] obtuvieron el límite superior asintótico para todos los números enteros positivos d y t . Esto coincide asintóticamente con el límite inferior dado originalmente por Delsarte, Goethals y Seidel. El valor de C d es actualmente desconocido, mientras que los valores exactos de se conocen en relativamente pocos casos.
