En el estudio matemático de las álgebras de Lie y los grupos de Lie , un diagrama de Satake es una generalización de un diagrama de Dynkin introducido por Satake (1960, p.109) cuyas configuraciones clasifican álgebras de Lie simples sobre el cuerpo de números reales . Los diagramas de Satake asociados a un diagrama de Dynkin clasifican formas reales del álgebra de Lie compleja correspondiente al diagrama de Dynkin.
De manera más general, el índice de Tits o diagrama de Satake-Tits de un grupo algebraico reductivo sobre un cuerpo es una generalización del diagrama de Satake a cuerpos arbitrarios, introducido por Tits (1966), que reduce la clasificación de los grupos algebraicos reductivos a la de los grupos algebraicos reductivos anisotrópicos .
Los diagramas de Satake no son los mismos que los diagramas de Vogan de un grupo de Lie, aunque parecen similares.
Un diagrama de Satake se obtiene a partir de un diagrama de Dynkin ennegreciendo algunos vértices y conectando otros vértices en pares mediante flechas, de acuerdo con ciertas reglas.
Supóngase que G es un grupo algebraico definido sobre un cuerpo k , como los reales. Sea S un toro partido maximal en G , y tomemos T como un toro maximal que contiene a S definido sobre la clausura algebraica separable K de k . Entonces G ( K ) tiene un diagrama de Dynkin con respecto a alguna elección de raíces positivas de T . Este diagrama de Dynkin tiene una acción natural del grupo de Galois de K / k . También algunas de las raíces simples se desvanecen en S . El diagrama de Satake-Tits está dado por el diagrama de Dynkin D , junto con la acción del grupo de Galois, con las raíces simples desapareciendo en S coloreadas en negro. En el caso en que k es el cuerpo de números reales, el grupo de Galois absoluto tiene orden 2, y su acción en D se representa dibujando puntos conjugados del diagrama de Dynkin cerca uno del otro, y el diagrama de Satake-Tits se llama diagrama de Satake.
Tanto los diagramas de Satake como los de Vogan se utilizan para clasificar grupos o álgebras de Lie semisimples (o grupos algebraicos) sobre los números reales y ambos consisten en diagramas de Dynkin enriquecidos al ennegrecer un subconjunto de los nodos y conectar algunos pares de vértices mediante flechas. Los diagramas de Satake, sin embargo, se pueden generalizar a cualquier cuerpo (ver arriba) y caen bajo el paradigma general de la cohomología de Galois , mientras que los diagramas de Vogan se definen específicamente sobre los números reales. En términos generales, la estructura de un álgebra de Lie semisimple real se codifica de una manera más transparente en su diagrama de Satake, pero los diagramas de Vogan son más simples de clasificar.
La diferencia esencial es que el diagrama de Satake de un álgebra de Lie semisimple real con involución de Cartan θ y par de Cartan asociado (los espacios propios +1 y −1 de θ ) se define a partir de una subálgebra de Cartan θ -estable máximamente no compacta , es decir, una para la cual y es lo más pequeño posible (en la presentación anterior, aparece como el álgebra de Lie del toro dividido máximo S ), mientras que los diagramas de Vogan se definen a partir de una subálgebra de Cartan θ -estable máximamente compacta, es decir, una para la cual y es lo más grande posible.
El diagrama de Dynkin sin adornos (es decir, aquel con solo nodos blancos y sin flechas), cuando se interpreta como un diagrama de Satake, representa la forma real dividida del álgebra de Lie, mientras que representa la forma compacta cuando se interpreta como un diagrama de Vogan.
