Dados de Sicherman

Par de dados de seis caras no estándar

Un par de dados Sicherman. Las caras opuestas suman 5 en el dado de la izquierda y 9 en el de la derecha.

Los dados de Sicherman / ˈ s ɪ k ər m ən / son un par de dados de 6 caras con números no estándar: uno con los lados 1, 2, 2, 3, 3, 4 y el otro con los lados 1, 3, 4, 5, 6, 8. Son notables por ser el único par de dados de 6 caras que no son dados normales , solo tienen números enteros positivos y tienen la misma distribución de probabilidad para la suma que los dados normales. Fueron inventados en 1978 por George Sicherman de Buffalo, Nueva York.

Matemáticas

Comparación de las tablas de suma de dados normales (N) y de Sicherman (S) . Si se permite el cero, los dados normales tienen una variante (N') y los dados de Sicherman tienen dos (S' y S"). Cada tabla tiene 1 dos, 2 tres, 3 cuatros, etc.

Un ejercicio estándar de combinatoria elemental consiste en calcular el número de formas de obtener un valor dado con un par de dados de seis caras (sumando los dos lanzamientos). La tabla muestra el número de formas de obtener un valor dado : ${\displaystyle n}$

Crazy Dice es un ejercicio matemático de combinatoria elemental que implica volver a etiquetar las caras de un par de dados de seis caras para reproducir la misma frecuencia de sumas que el etiquetado estándar. Los dados de Sicherman son dados locos que se vuelven a etiquetar solo con números enteros positivos . (Si los números enteros no necesitan ser positivos, para obtener la misma distribución de probabilidad, el número en cada cara de un dado se puede disminuir en k y el del otro dado se puede aumentar en k , para cualquier número natural k , lo que da infinitas soluciones).

La siguiente tabla muestra todos los totales posibles de tiradas de dados con dados estándar y dados Sicherman. Un dado Sicherman está coloreado para mayor claridad: 1 – 2 – 2 – 3 – 3 – 4 , y el otro es completamente negro, 1–3–4–5–6–8.

Historia

Los dados de Sicherman fueron descubiertos por George Sicherman de Buffalo, Nueva York y fueron reportados originalmente por Martin Gardner en un artículo de 1978 en Scientific American .

Los números se pueden organizar de modo que todos los pares de números en lados opuestos sumen números iguales, 5 para el primero y 9 para el segundo.

Más tarde, en una carta a Sicherman, Gardner mencionó que un mago que conocía había anticipado el descubrimiento de Sicherman. Para generalizaciones de los dados de Sicherman a más de dos dados y dados no cúbicos, véase Broline (1979), Gallian y Rusin (1979), Brunson y Swift (1997/1998) y Fowler y Swift (1999).

Justificación matemática

Sea un dado canónico de n caras un n -edro cuyas caras están marcadas con los números enteros [1,n] tales que la probabilidad de obtener cada número es 1/ n . Consideremos el dado cúbico canónico (de seis caras). La función generadora para los lanzamientos de dicho dado es . El producto de este polinomio consigo mismo da la función generadora para los lanzamientos de un par de dados: . A partir de la teoría de polinomios ciclotómicos , sabemos que ${\displaystyle x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}}$ ${\displaystyle x^{2}+2x^{3}+3x^{4}+4x^{5}+5x^{6}+6x^{7}+5x^{8}+4x^{9}+3x^{10}+2x^{11}+x^{12}}$

${\displaystyle x^{n}-1=\prod _{d\,\mid \,n}\Phi _{d}(x).}$

donde d abarca los divisores de n y es el d -ésimo polinomio ciclotómico, y ${\displaystyle \Phi _{d}(x)}$

${\displaystyle {\frac {x^{n}-1}{x-1}}=\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=1+x+\cdots +x^{n-1}}$.

Por lo tanto, derivamos la función generadora de un solo dado canónico de n lados como

${\displaystyle x+x^{2}+\cdots +x^{n}={\frac {x}{x-1}}\prod _{d\,\mid \,n}\Phi _{d}(x)}$

${\displaystyle \Phi _{1}(x)=x-1}$y se cancela. Por lo tanto, la factorización de la función generadora de un dado canónico de seis caras es

${\displaystyle x\,\Phi _{2}(x)\,\Phi _{3}(x)\,\Phi _{6}(x)=x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)}$

La función generadora de los lanzamientos de dos dados es el producto de dos copias de cada uno de estos factores. ¿Cómo podemos dividirlos para formar dos dados legales cuyos puntos no estén dispuestos de forma tradicional? Aquí, legal significa que los coeficientes no son negativos y suman seis, de modo que cada dado tiene seis lados y cada cara tiene al menos un punto. (Es decir, la función generadora de cada dado debe ser un polinomio p(x) con coeficientes positivos, y con p(0) = 0 y p(1) = 6.) Solo existe una partición de este tipo:

${\displaystyle x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)=x+2x^{2}+2x^{3}+x^{4}}$

y

${\displaystyle x\;(x+1)\;(x^{2}+x+1)\;(x^{2}-x+1)^{2}=x+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{8}}$

Esto nos da la distribución de puntos en las caras de un par de dados Sicherman como {1,2,2,3,3,4} y {1,3,4,5,6,8}, como arriba.

Esta técnica se puede ampliar a dados con un número arbitrario de caras.

Referencias

• Broline, D. (1979), "Renumeración de las caras de los dados", Mathematics Magazine , 52 (5), Mathematics Magazine, vol. 52, n.º 5: 312–315, doi :10.2307/2689786, JSTOR  2689786
• Brunson, BW; Swift, Randall J. (1998), "Sumas igualmente probables", Mathematical Spectrum , 30 (2): 34–36
• Fowler, Brian C.; Swift, Randall J. (1999), "Reetiquetado de dados", College Mathematics Journal , 30 (3), The College Mathematics Journal, vol. 30, n.º 3: 204–208, doi :10.2307/2687599, JSTOR  2687599
• Gallian, JA; Rusin, DJ (1979), "Polinomios ciclotómicos y dados no estándar", Discrete Mathematics , 27 (3): 245–259, doi : 10.1016/0012-365X(79)90161-4 , MR  0541471
• Gardner, Martin (1978), "Juegos matemáticos", Scientific American , 238 (2): 19–32, Bibcode :1978SciAm.238b..19G, doi :10.1038/scientificamerican0278-19
• Newman, Donald J. (1998). Teoría analítica de números . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98308-2.

Véase también

• Calendario de dos cubos

Enlaces externos

• Página de información de Mathworld

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