Cuasideterminante

En matemáticas, el cuasideterminante reemplaza al determinante de matrices con entradas no conmutativas. Los cuasideterminantes de ejemplo 2 × 2 son los siguientes:

${\displaystyle \left|{\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right|_{11}=a_{11}-a_{12}{a_{22}}^{-1}a_{21}\qquad \left|{\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right|_{12}=a_{12}-a_{11}{a_{21}}^{-1}a_{22}.}$

En general, hay n ² cuasideterminantes definidos para una matriz n  ×  n (uno para cada posición en la matriz), pero la presencia de los términos invertidos anteriores debería hacer reflexionar al lector: no siempre están definidos, e incluso cuando lo están definidos, no se reducen a determinantes cuando las entradas conmutan. Bastante,

${\displaystyle \left|A\right|_{ij}=(-1)^{i+j}{\frac {\det A}{\det A^{ij}}},}$

donde significa eliminar la i -ésima fila y la j -ésima columna de A. ${\displaystyle A^{ij}}$

Los ejemplos anteriores fueron introducidos entre 1926 y 1928 por Richardson ^{[1] [2]} y Heyting, ^[3] pero fueron marginados en ese momento porque no eran polinomios en las entradas de . Estos ejemplos fueron redescubiertos y renovados en 1991 por Israel Gelfand y Vladimir Retakh . ^{[4] [5]} Allí, desarrollan versiones cuasideterminantes de muchas propiedades determinantes familiares. Por ejemplo, si se construye cambiando la escala de su -ésima fila (a la izquierda) por , entonces . De manera similar, si se construye agregando un múltiplo (izquierdo) de la -ésima fila a otra fila, entonces . Incluso desarrollan una versión cuasideterminante de la regla de Cramer . ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \left.\rho \right.}$ ${\displaystyle \left|B\right|_{ij}=\rho \left|A\right|_{ij}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \left|B\right|_{ij}=\left|A\right|_{ij}\,\,(\forall j;\forall k\neq i)}$

Definición

(una definición de imagen)

Sea una matriz sobre un anillo (no necesariamente conmutativo) y arregle . Denotemos la entrada ( ) de , denotamos la -ésima fila de con la columna eliminada y denotamos la -ésima columna de con la fila eliminada. El cuasideterminante ( ) de se define si la submatriz es invertible sobre . En este caso, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$ ${\displaystyle a_{ij}}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r_{i}^{j}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle c_{j}^{i}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{ij}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \left|A\right|_{ij}=a_{ij}-r_{i}^{j}\,{\bigl (}A^{ij}{\bigr )}^{-1}\,c_{j}^{i}.}$

Recuerde la fórmula (para anillos conmutativos) relativa al determinante, a saber . La definición anterior es una generalización en el sentido de que (incluso para anillos no conmutativos) se tiene ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\displaystyle (A^{-1})_{ji}=(-1)^{i+j}{\frac {\det A^{ij}}{\det A}}}$

${\displaystyle {\bigl (}A^{-1}{\bigr )}_{\!ji}=\left|A\right|_{ij}^{\,-1}}$

siempre que las dos partes tengan sentido.

Identidades

Una de las propiedades más importantes del cuasideterminante es lo que Gelfand y Retakh llaman el "principio de herencia". Permite tomar un cuasideterminante en etapas (y no tiene contraparte conmutativa). Para ilustrar, supongamos

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{array}}\right)}$

es una descomposición matricial en bloques de una matriz con una matriz. Si la entrada ( ) de se encuentra dentro de , dice que ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{11}}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{11}}$

${\displaystyle \left|A\right|_{ij}=\left|A_{11}-A_{12}\,{A_{22}}^{-1}\,A_{21}\right|_{ij}.}$

Es decir, el cuasideterminante de un cuasideterminante es un cuasideterminante. Para decirlo de manera menos sucinta: A DIFERENCIA de los determinantes, los cuasideterminantes tratan las matrices con entradas de matriz de bloques de la misma manera que las matrices ordinarias (algo que los determinantes no pueden hacer ya que las matrices de bloques generalmente no conmutan entre sí). Es decir, si bien la forma precisa de la identidad anterior es bastante sorprendente, la existencia de alguna identidad de este tipo lo es menos. Otras identidades de los artículos ^{[4] [5]} son ​​(i) las llamadas "relaciones homológicas", que establecen que dos cuasideterminantes en una fila o columna común están estrechamente relacionados entre sí, y (ii) la fórmula de Sylvester .

(i) Dos cuasideterminantes que comparten una fila o columna común satisfacen

${\displaystyle \left|A\right|_{ij}|A^{il}|_{kj}^{\,-1}=-\left|A\right|_{il}|A^{ij}|_{kl}^{\,-1}}$

o

${\displaystyle |A^{kj}|_{il}^{\,-1}\left|A\right|_{ij}=-|A^{ij}|_{kl}^{\,-1}\left|A\right|_{kj},}$

respectivamente, para todas las opciones , de modo que se definan los cuasideterminantes involucrados. ${\displaystyle i\neq k}$ ${\displaystyle j\neq l}$

(ii) Al igual que el principio de herencia, la identidad de Sylvester es una forma de calcular recursivamente un cuasideterminante. Para facilitar la notación, mostramos un caso especial. Sea la submatriz superior izquierda de una matriz y fije una coordenada ( ) en . Sea la matriz, definida como el cuasideterminante () de la matriz formada al unir las primeras columnas de la fila , las primeras filas de la columna y la entrada . Entonces uno tiene ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle B=(b_{pq})}$ ${\displaystyle (n-k)\times (n-k)}$ ${\displaystyle b_{pq}}$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle (k+1)\times (k+1)}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ _{${\displaystyle pq}$}

${\displaystyle \left|B\right|_{ij}=\left|A\right|_{ij}.}$

Muchas más identidades han aparecido desde los primeros artículos de Gelfand y Retakh sobre el tema, la mayoría de ellas análogas a las identidades determinantes clásicas. Una fuente importante es el artículo de Krob y Leclerc de 1995. ^[6] Para resaltar uno, consideramos las identidades de expansión de fila/columna. Arregle una fila para expandirla. Recuerde la fórmula determinante . Bueno, sucede que los cuasideterminantes satisfacen ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \det A=\sum _{l}(-1)^{i+l}a_{il}\cdot \det A^{il}}$

${\displaystyle \left|A\right|_{ij}=a_{ij}-\sum _{l\neq j}a_{il}\cdot |A^{ij}|_{kl}^{\,-1}|A^{il}|_{kj}}$

(expansión a lo largo de la columna ), y ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \left|A\right|_{ij}=a_{ij}-\sum _{k\neq i}|A^{kj}|_{il}|A^{ij}|_{kl}^{\,-1}\cdot a_{kj}}$

(expansión a lo largo de la fila ). ${\displaystyle i}$

Conexiones con otros determinantes

El cuasideterminante ciertamente no es el único determinante análogo existente para escenarios no conmutativos; quizás los ejemplos más famosos sean el determinante de Dieudonné y el determinante cuántico . Sin embargo, estos están relacionados de alguna manera con el cuasideterminante. Por ejemplo,

${\displaystyle {\det }_{q}A={\bigl |}A{\bigr |}_{11}\,\left|A^{11}\right|_{22}\,\left|A^{12,12}\right|_{33}\,\cdots \,|a_{nn}|_{nn},}$

con los factores del lado derecho conmutando entre sí. Otros ejemplos famosos, como los determinantes berezinianos , de Moore y Study, los determinantes de Capelli y los determinantes de tipo Cartier-Foata, también se pueden expresar en términos de cuasideterminantes. Se sabe que Gelfand define un determinante (no conmutativo) como "bueno" si puede expresarse como productos de cuasi menores.

Aplicaciones

Parafraseando su artículo de encuesta de 2005 con Sergei Gelfand y Robert Wilson, ^[7] Israel Gelfand y Vladimir Retakh abogan por la adopción de cuasideterminantes como "una herramienta organizativa principal en álgebra no conmutativa, dándoles el mismo papel que desempeñan los determinantes en álgebra conmutativa". Se ha hecho un uso sustancial del cuasideterminante en campos de las matemáticas como sistemas integrables, ^{[8] [9]} teoría de la representación, ^{[10] [11]} combinatoria algebraica, ^[12] la teoría de funciones simétricas no conmutativas , ^[13] la teoría de polinomios sobre anillos de división , ^[14] y geometría no conmutativa. ^{[15] [16] [17]}

Varias de las aplicaciones anteriores utilizan coordenadas cuasi-Plücker, que parametrizan los Grassmannianos y las banderas no conmutativos de la misma manera que las coordenadas de Plücker lo hacen con los Grassmannianos y las banderas sobre campos conmutativos. Puede encontrar más información sobre estos en el artículo de la encuesta. ^[7]

Ver también

• Teorema del maestro MacMahon

Referencias

1. Richardson, Archibald Read (1926). "Determinantes hipercomplejos". Mensajero de las Matemáticas . 55 : 145-152.
2. Richardson, Archibald Read (1928). "Ecuaciones lineales simultáneas sobre un álgebra de división". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 28 : 395–420. doi :10.1112/plms/s2-28.1.395.
3. Heyting, Arend (1928). "Die theorie der linearen gleichungen in einer zahlenspezies mit nichtkommutativer multiplication". Annalen Matemáticas . 98 : 465–490. doi : 10.1007/BF01451604 .
4. Gelfand, Israel ; Retakh, Vladimir (1991). "Determinantes de matrices sobre anillos no conmutativos". Análisis funcional y sus aplicaciones . 25 (2): 91-102. doi : 10.1007/BF01079588 .
5. Gelfand, Israel ; Retakh, Vladimir (1992). "Una teoría de determinantes no conmutativos y funciones características de gráficas". Análisis funcional y sus aplicaciones . 26 (4): 231–246. doi : 10.1007/BF01075044 .
6. Krob, Daniel; Leclerc, Bernard (1995). "Identidades menores para cuasideterminantes y determinantes cuánticos". Comunicaciones en Física Matemática . 169 (1): 1–23. arXiv : hep-th/9411194 . Código bibliográfico : 1995CMaPh.169....1K. doi : 10.1007/BF02101594 .
7. Gelfand, Israel ; Gelfand, Sergei; Retakh, Vladimir ; Wilson, Robert Lee (2005). "Cuasideterminantes". Avances en Matemáticas . 193 : 56-141. arXiv : matemáticas/0208146 . doi : 10.1016/j.aim.2004.03.018 .
8. Etingof, Pavel; Gelfand, Israel; Retakh, Vladimir (1998). "Sistemas integrables nonabelianos, cuasideterminantes y lema de Marchenko". Cartas de investigación matemática . 5 : 1–12. arXiv : q-alg/9707017 . doi : 10.4310/MRL.1998.v5.n1.a1 .
9. Gilson, Claire R.; Nimmo, Jonathan JC; Sooman, CM (2008). "Sobre un enfoque directo de soluciones cuasideterminantes de una ecuación KP modificada no conmutativa". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 41 (8): 085202. arXiv : 0711.3733 . Código Bib : 2008JPhA...41h5202G. doi :10.1088/1751-8113/41/8/085202. S2CID  14109958.
10. A. Molev, Yangianos y sus aplicaciones, en Manual de álgebra, vol. 3, Holanda Septentrional, Ámsterdam, 2003. (eprint)
11. Brundan, Jonathan; Kleshchev, Alejandro (2005). "Presentaciones parabólicas del Yangian Y ( g l n ) ⋆ {\displaystyle Y(gl_{n})^{\star }} ". Comunicaciones en Física Matemática . 254 (1): 191–220. arXiv : matemáticas/0407011 . Código Bib : 2005CMaPh.254..191B. doi : 10.1007/s00220-004-1249-6 .
12. Konvalinka, Matjaž; Pak, Igor (2007). "Extensiones no conmutativas del teorema maestro de MacMahon". Avances en Matemáticas . 216 : 29–61. arXiv : matemáticas/0607737 . doi : 10.1016/j.aim.2007.05.020 .
13. Gelfand, Israel ; Krob, Daniel; Lascoux, Alain; Leclerc, Bernard; Retakh, Vladimir ; Thibon, Jean-Yves (1995). "Funciones simétricas no conmutativas". Avances en Matemáticas . 112 (2): 218–348. arXiv : hep-th/9407124 . doi : 10.1006/aima.1995.1032 .
14. Israel Gelfand, Vladimir Retakh, Teorema de Vieta no conmutativo y funciones simétricas. Los seminarios de matemáticas de Gelfand, 1993-1995.
15. Zoran Škoda, Localización no conmutativa en geometría no conmutativa, en "Localización no conmutativa en álgebra y topología", London Math. Soc. Ser. de notas de conferencia, 330, Universidad de Cambridge. Press, Cambridge, 2006. (eprint)
16. Lauve, Aaron (2006). "Coordenadas cuánticas y cuasi-Plücker". Revista de Álgebra . 296 (2): 440–461. arXiv : matemáticas/0406062 . doi : 10.1016/j.jalgebra.2005.12.004 .
17. Berenstein, Arkady; Retakh, Vladimir (2005). "Células dobles de Bruhat no conmutativas y sus factorizaciones". Avisos internacionales de investigación en matemáticas . 2005 (8): 477–516. arXiv : matemáticas/0407010 . doi :10.1155/IMRN.2005.477. S2CID  15154129.{{cite journal}}: CS1 maint: unflagged free DOI (link)