En matemáticas , los ciclos de desaparición se estudian en la teoría de singularidades y otras partes de la geometría algebraica . Son aquellos ciclos de homología de una fibra lisa en una familia que se desvanecen en la fibra singular.
Por ejemplo, en una función de una superficie compleja conectada a la línea proyectiva compleja, una fibra genérica es una superficie de Riemann suave de algún género fijo g y, genéricamente, habrá puntos aislados en el objetivo cuyas preimágenes son curvas nodales. Si se considera un valor crítico aislado y un pequeño bucle alrededor de él, en cada fibra, se puede encontrar un bucle suave de modo que la fibra singular se pueda obtener pellizcando ese bucle en un punto. El bucle en las fibras suaves da un elemento del primer grupo de homología de una superficie, y la monodromía del valor crítico se define como la monodromía de la primera homología de las fibras a medida que se recorre el bucle, es decir, una función invertible de la primera homología de una superficie (real) de género g.
Un resultado clásico es la fórmula de Picard-Lefschetz , [1] que detalla cómo la monodromía alrededor de la fibra singular actúa sobre los ciclos que desaparecen, mediante un mapeo de corte .
La teoría geométrica clásica de Solomon Lefschetz fue reformulada en términos puramente algebraicos en SGA7 . Esto se hizo para satisfacer los requisitos de su aplicación en el contexto de la cohomología l-ádica y su eventual aplicación a las conjeturas de Weil . Allí, la definición utiliza categorías derivadas y parece muy diferente. Implica un funtor, el funtor de ciclo cercano , con una definición por medio de la imagen directa superior y pullbacks. El funtor de ciclo que se desvanece se ubica entonces en un triángulo distinguido con el funtor de ciclo cercano y un funtor más elemental. Esta formulación ha tenido una influencia continua, en particular en la teoría del módulo D.