En geometría diferencial , un ciclo de Hodge o clase de Hodge es un tipo particular de clase de homología definida en una variedad algebraica compleja V , o más generalmente en una variedad de Kähler . Una clase de homología x en un grupo de homología
donde V es una variedad algebraica compleja no singular o la variedad de Kähler es un ciclo de Hodge , siempre que satisfaga dos condiciones. En primer lugar, k es un número entero par , y en la descomposición por suma directa de H que se muestra en la teoría de Hodge , x es puramente de tipo . En segundo lugar, x es una clase racional, en el sentido de que se encuentra en la imagen del homomorfismo de grupo abeliano.
definido en topología algebraica (como un caso especial del teorema del coeficiente universal ). Por lo tanto , el término convencional ciclo de Hodge es ligeramente inexacto, ya que x se considera una clase ( límites de módulo ); pero este es un uso normal.
La importancia de los ciclos de Hodge radica principalmente en la conjetura de Hodge , en el sentido de que los ciclos de Hodge siempre deben ser ciclos algebraicos , para V una variedad algebraica completa . Éste es un problema no resuelto, uno de los Problemas del Premio del Milenio . Se sabe que ser un ciclo de Hodge es condición necesaria para que sea un ciclo algebraico que sea racional, y se conocen numerosos casos particulares de la conjetura.
