círculo osculador

Círculo de curvatura inmediata correspondiente de una curva en un punto

Un círculo osculador

Círculos osculadores de la espiral de Arquímedes , anidados por el teorema de Tait-Kneser . "La espiral en sí no está dibujada: la vemos como el lugar geométrico de los puntos donde los círculos están especialmente cerca unos de otros". ^[1]

Un círculo osculador es un círculo que se aproxima mejor a la curvatura de una curva en un punto específico. Es tangente a la curva en ese punto y tiene la misma curvatura que la curva en ese punto. ^[2] El círculo osculador proporciona una manera de comprender el comportamiento local de una curva y se usa comúnmente en geometría diferencial y cálculo.

Más formalmente, en geometría diferencial de curvas , el círculo osculador de una curva plana suficientemente suave en un punto dado p de la curva se ha definido tradicionalmente como el círculo que pasa por p y un par de puntos adicionales de la curva infinitamente cercanos a p . Su centro se encuentra en la línea normal interior y su curvatura define la curvatura de la curva dada en ese punto. Este círculo, que es el que entre todos los círculos tangentes en el punto dado que se acerca más estrechamente a la curva, fue nombrado circulus osculans (en latín, "círculo de besos") por Leibniz .

El centro y el radio del círculo osculador en un punto dado se denominan centro de curvatura y radio de curvatura de la curva en ese punto. Isaac Newton describió una construcción geométrica en sus Principia :

Estando dada, en cualquier lugar, la velocidad con la que un cuerpo describe una figura dada, por medio de fuerzas dirigidas a algún centro común: encontrar ese centro.

—  Isaac Newton, Principia ; PROPUESTA V. PROBLEMA I.

Descripción no técnica

Imagine un automóvil que se mueve a lo largo de una carretera con curvas en un vasto plano. De repente, en un punto de la carretera, el volante se bloquea en su posición actual. A continuación, el coche se mueve en un círculo que "besa" la carretera en el punto de bloqueo. La curvatura del círculo es igual a la de la carretera en ese punto. Ese círculo es el círculo osculador de la curva de la carretera en ese punto.

Descripción matemática

Sea γ ( s ) una curva plana paramétrica regular , donde s es la longitud del arco (el parámetro natural ). Esto determina el vector unitario tangente T ( s ) , el vector unitario normal N ( s ) , la curvatura con signo k ( s ) y el radio de curvatura R ( s ) en cada punto por el que s se compone:

$${\displaystyle T(s)=\gamma '(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)={\frac {1}{\left|k(s)\right|}}.}$$

Supongamos que P es un punto en γ donde k ≠ 0 . El centro de curvatura correspondiente es el punto Q a una distancia R a lo largo de N , en la misma dirección si k es positivo y en la dirección opuesta si k es negativo. La circunferencia con centro en Q y radio R se llama circunferencia osculadora de la curva γ en el punto P.

Si C es una curva espacial regular , entonces el círculo osculador se define de manera similar, utilizando el vector normal principal N. Se encuentra en el plano osculador , el plano atravesado por los vectores tangente y normal principal T y N en el punto P.

La curva plana también se puede dar en una parametrización regular diferente.

$${\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{bmatrix}}}$$

ktNtRtQt ${\displaystyle \gamma '(t)\neq 0}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle k(t)={\frac {x_{1}'(t)\,x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\,x_{2}'(t)}{\left(x_{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{{3}/{2}}}},\qquad N(t)={\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}{\begin{bmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle R(t)=\left|{\frac {\left(x_{1}'\left(t\right)^{2}+x_{2}'\left(t\right)^{2}\right)^{{3}/{2}}}{x_{1}'(t)\,x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\,x_{2}'(t)}}\right|\qquad {\text{and}}\qquad Q(t)=\gamma (t)+{\frac {1}{k(t)\|\gamma '(t)\|}}{\begin{bmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{bmatrix}}\,.}$$

Coordenadas cartesianas

Podemos obtener el centro del círculo osculador en coordenadas cartesianas si sustituimos t = x e y = f ( x ) por alguna función f . Si hacemos los cálculos los resultados para las coordenadas X e Y del centro del círculo osculador son:

$${\displaystyle x_{c}=x-f'{\frac {1+f'^{2}}{f''}}\quad {\text{and}}\quad y_{c}=f+{\frac {1+f'^{2}}{f''}}}$$

Derivación geométrica directa

Considere tres puntos , y , donde . Para encontrar el centro del círculo que pasa por estos puntos, primero tenemos que encontrar las bisectrices del segmento de y luego el punto donde se cruzan estas líneas. Por tanto, las coordenadas de se obtienen resolviendo un sistema lineal de dos ecuaciones: ${\textstyle P_{0}}$ ${\textstyle P_{1}}$ ${\textstyle P_{2}}$ ${\textstyle P_{i}=(x_{i},y_{i})}$ ${\textstyle P_{0}P_{1}}$ ${\textstyle P_{1}P_{2}}$ ${\textstyle C}$ ${\textstyle C}$

$${\displaystyle \left(\delta x_{i}\right)x_{c}+\left(\delta y_{i}\right)y_{c}={\tfrac {1}{2}}\left(\delta ^{2}x_{i}+\delta ^{2}y_{i}\right)\quad i=1,2}$$

${\textstyle \delta u_{i}=u_{i}-u_{i-1}}$ ${\textstyle \delta ^{2}u_{i}=u_{i}^{2}-u_{i-1}^{2}}$ ${\textstyle u=x,y}$

Consideremos ahora la curva y el conjunto , y . Para el segundo orden en , tenemos ${\textstyle P=P(\tau )}$ ${\textstyle P_{0}=P(\tau -d\tau )}$ ${\textstyle P_{1}=P(\tau )}$ ${\textstyle P_{2}=P(\tau +d\tau )}$ ${\textstyle d\tau }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\delta u_{1}=&{\dot {u}}d\tau -{\frac {1}{2}}{\ddot {u}}\,d\tau ^{2}\\\delta ^{2}u_{1}=&2u{\dot {u}}\,d\tau -d\tau ^{2}\left({\dot {u}}^{2}+u{\ddot {u}}\right)\end{aligned}}}$$

${\textstyle \delta u_{2}}$ ${\textstyle \delta ^{2}u_{2}}$ ${\textstyle d\tau ^{2}}$ ${\textstyle x_{c},y_{c}}$ ${\textstyle d\tau }$ ${\textstyle d\tau ^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}(x_{c}-x)+{\dot {y}}(y_{c}-y)&=0\\{\ddot {x}}(x_{c}-x)+{\ddot {y}}(y_{c}-y)&={\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\end{aligned}}}$$

${\textstyle \mathbf {r} ={\overrightarrow {P_{1}C}}}$ ${\textstyle \mathbf {r} }$ ${\textstyle P_{1}}$

$${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {t} =0}$$

$${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =1}$$

$${\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {d\mathbf {t} }{ds}}={\frac {1}{{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}{\begin{bmatrix}{\ddot {x}}\\{\ddot {y}}\end{bmatrix}}}$$

${\textstyle \mathbf {k} }$ ${\textstyle \mathbf {t} }$

$${\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {k} =\mathbf {t} {\frac {d\mathbf {t} }{ds}}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(\mathbf {t} \cdot \mathbf {t} )={\frac {1}{2}}{\frac {d}{ds}}(1)=0}$$

${\textstyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} =kr}$

Resolviendo la ecuación para las coordenadas de , encontramos ${\textstyle C}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{c}-x=&{\frac {{\dot {y}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}{{\dot {y}}{\ddot {x}}-{\dot {x}}{\ddot {y}}}}\\y_{c}-y=&{\frac {-{\dot {x}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)}{{\dot {y}}{\ddot {x}}-{\dot {x}}{\ddot {y}}}}\end{aligned}}}$$

El círculo osculador como problema de minimización.

Considere una curva definida intrínsecamente por la ecuación ${\textstyle C}$

$${\displaystyle f(x,y)=0}$$

${\textstyle z=f(x,y)}$ ${\textstyle z=0}$ ${\textstyle \mathbf {n} }$ ${\textstyle P_{0}=(x_{0},y_{0})}$

$${\displaystyle \mathbf {n} =(f_{x},f_{y})}$$

${\textstyle B_{\alpha }}$

$${\displaystyle X_{c}=x_{0}-\alpha f_{x}\,\,;\,\,Y_{c}=y_{0}-\alpha f_{y}}$$

${\textstyle \alpha }$ ${\textstyle \alpha ,}$ ${\textstyle R}$ ${\textstyle B_{\alpha }}$

$${\displaystyle R^{2}=\alpha ^{2}(f_{x}^{2}+f_{y}^{2})}$$

coincida ${\textstyle B_{\alpha }}$

Las coordenadas de un punto se pueden escribir como ${\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}$

$${\displaystyle x_{1}=X_{c}+R\cos \theta \,\,;\,\,y_{1}=Y_{c}+R\sin \theta }$$

${\textstyle \theta =\theta _{0}}$ ${\textstyle P_{1}=P_{0}}$

$${\displaystyle R\cos \theta _{0}=\alpha f_{x}\,\,;\,\,R\sin \theta _{0}=\alpha f_{y}}$$

${\textstyle P_{1}\in B_{\alpha }}$ ${\textstyle P_{0}}$ ${\textstyle \theta _{1}=\theta _{0}+d\theta }$ ${\textstyle d\theta }$ ${\displaystyle P_{1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&x_{0}-\alpha f_{y}d\theta -{\tfrac {1}{2}}\alpha f_{x}\left(d\theta \right)^{2}\\y_{1}=&y_{0}+\alpha f_{x}d\theta -{\tfrac {1}{2}}\alpha f_{y}\left(d\theta \right)^{2}\end{aligned}}}$$

${\textstyle f}$ ${\textstyle P_{1}}$ ${\displaystyle f(x_{1},y_{1})-f(x_{0},y_{0})}$ ${\textstyle d\theta }$ ${\textstyle \theta }$ ${\textstyle P_{1}}$ ${\textstyle C}$ ${\displaystyle (d\theta )^{2}}$

$${\displaystyle df=-{\frac {1}{2}}\alpha \left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\left(f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}\right)}$$

$${\displaystyle \alpha ={\frac {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}{f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}}}}$$

$${\displaystyle R=\left|{\frac {\left(f_{x}^{2}+f_{y}^{2}\right)^{3/2}}{\left(f_{y}^{2}f_{xx}+f_{x}^{2}f_{yy}-f_{x}f_{y}f_{xy}\right)}}\right|}$$

Para una función explícita , encontramos los resultados de la sección anterior. ${\displaystyle f(x,y)=y-g(x)}$

Propiedades

Para una curva C dada por ecuaciones paramétricas suficientemente suaves (dos veces continuamente diferenciables), el círculo osculador puede obtenerse mediante un procedimiento limitante: es el límite de los círculos que pasan por tres puntos distintos en C cuando estos puntos se aproximan a P. ^[3] Esto es completamente análogo a la construcción de la tangente a una curva como límite de las rectas secantes a través de pares de puntos distintos en C que se aproxima a P.

El círculo osculador S a una curva plana C en un punto regular P se puede caracterizar por las siguientes propiedades:

• El círculo S pasa por P .
• El círculo S y la curva C tienen la recta tangente común en P y, por tanto, la recta normal común.
• Cerca de P , la distancia entre los puntos de la curva C y el círculo S en la dirección normal decrece a medida que el cubo o una potencia mayor de la distancia a P en la dirección tangencial.

Esto generalmente se expresa como "la curva y su círculo osculador tienen el contacto de segundo o mayor orden " en P. En términos generales, las funciones vectoriales que representan C y S concuerdan junto con sus derivadas primera y segunda en P .

Si la derivada de la curvatura con respecto a s es distinta de cero en P , entonces el círculo osculador cruza la curva C en P. Los puntos P en los que la derivada de la curvatura es cero se denominan vértices . Si P es un vértice, entonces C y su círculo osculador tienen contacto de orden al menos tres. Si, además, la curvatura tiene un máximo o mínimo local distinto de cero en P , entonces el círculo osculador toca la curva C en P pero no la cruza.

La curva C se puede obtener como la envolvente de la familia uniparamétrica de sus círculos osculadores. Sus centros, es decir , los centros de curvatura, forman otra curva, llamada evolución de C. Los vértices de C corresponden a puntos singulares de su evolución.

Dentro de cualquier arco de una curva C dentro del cual la curvatura es monótona (es decir, alejada de cualquier vértice de la curva), los círculos osculadores están todos separados y anidados unos dentro de otros. Este resultado se conoce como teorema de Tait-Kneser . ^[1]

Ejemplos

Parábola

El círculo osculador de la parábola en su vértice tiene radio 0,5 y contacto de cuarto orden.

Para la parábola

$${\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}t\\t^{2}\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle R(t)=\left|{\frac {\left(1+4t^{2}\right)^{3/2}}{2}}\right|}$$

R (0) = 0,5tt ³ ${\displaystyle \gamma (0)={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}}}$

curva de lissajous

Animación del círculo osculador a una curva de Lissajous.

Una curva de Lissajous con relación de frecuencias (3:2) se puede parametrizar de la siguiente manera

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}\cos(3t)\\\sin(2t)\end{bmatrix}}.}$

Tiene curvatura con signo k ( t ) , vector unitario normal N ( t ) y radio de curvatura R ( t ) dado por

$${\displaystyle k(t)={\frac {6\cos(t)(8(\cos t)^{4}-10(\cos t)^{2}+5)}{\left(232(\cos t)^{4}-97(\cos t)^{2}+13-144(\cos t)^{6}\right)^{3/2}}}\,,}$$

$${\displaystyle N(t)={\frac {1}{\|\gamma '(t)\|}}\cdot {\begin{bmatrix}-2\cos(2t)\\-3\sin(3t)\end{bmatrix}}}$$

$${\displaystyle R(t)=\left|{\frac {\left(232\cos ^{4}(t)-97\cos ^{2}(t)+13-144\cos ^{6}(t)\right)^{3/2}}{6\cos(t)\left(8\cos ^{4}(t)-10\cos ^{2}(t)+5\right)}}\right|.}$$

Vea la figura para ver una animación. Allí el "vector de aceleración" es la segunda derivada con respecto a la longitud del arco s . ${\textstyle {\frac {d^{2}\gamma }{ds^{2}}}}$

Cicloide

Cicloide (azul), su círculo osculador (rojo) y evoluta (verde).

Una cicloide con radio r se puede parametrizar de la siguiente manera:

$${\displaystyle \gamma (t)={\begin{bmatrix}r\left(t-\sin t\right)\\r\left(1-\cos t\right)\end{bmatrix}}}$$

Su curvatura viene dada por la siguiente fórmula: ^[4]

$${\displaystyle \kappa (t)=-{\frac {\left|\csc \left({\frac {t}{2}}\right)\right|}{4r}}}$$

$${\displaystyle R(t)={\frac {4r}{\left|\csc \left({\frac {t}{2}}\right)\right|}}}$$

Ver también

• Teorema del embalaje circular
• Curva osculante
• Esfera osculadora

Notas

1. Ghys, Étienne ; Tabachnikov, Serguéi ; Timorín, Vladlen (2013). "Curvas osculadoras: en torno al teorema de Tait-Kneser". El inteligente matemático . 35 (1): 61–66. arXiv : 1207.5662 . doi :10.1007/s00283-012-9336-6. SEÑOR  3041992. S2CID  18183204.
2. "12.4 Longitud y curvatura del arco" . Consultado el 19 de septiembre de 2023 .
3. En realidad, el punto P más dos puntos adicionales, uno a cada lado de P , será suficiente. Véase Lamb (en línea): Horace Lamb (1897). Un curso elemental de cálculo infinitesimal. Prensa universitaria. pag. 406. círculo osculante.
4. Weisstein, Eric W. "Cicloide". MundoMatemático .

Otras lecturas

Para algunas notas históricas sobre el estudio de la curvatura, consulte

• Grattan-Guinness y HJM Bos (2000). Del cálculo a la teoría de conjuntos 1630-1910: una historia introductoria. Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 72.ISBN _ 0-691-07082-2.
• Roy Porter, ed. (2003). La Historia de la Ciencia de Cambridge: v4 - Ciencia del siglo XVIII. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 313.ISBN _ 0-521-57243-6.

Para su aplicación a vehículos de maniobra, consulte

• JC Alexander y JH Maddocks (1988): Sobre las maniobras de los vehículos doi :10.1137/0148002
• Murray S. Klamkin (1990). Problemas de Matemática Aplicada: selecciones de la revisión SIAM. Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada. pag. 1.ISBN _ 0-89871-259-9.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Círculo osculante". MundoMatemático .
• math3d: círculo_osculador